凸２４面体は凹６０面体にはぴったりはまりこむのに対して，凸６０面体の凸部は凹２４面体にははまりこまないようです．今回のコラムでは凹２４面体と凸６０面体の二面角関数を求めて，二面角δの変化を調べてみることにします．

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【１】二面角関数

　凹２４面体の二面角関数は

　　δ6＝π／２

　　ｔａｎθ＝（α^2−１）^1/2

として，

　　concaveδ24＝２π−δ6−２θ

　それに対して，凸６０面体の二面角関数は

　　ｔａｎδ12＝−２

　　ｔａｎθ＝（β^2（５−２√５）−１）^1/2

として，

　　convexδ60＝δ12＋２θ

で与えられます．

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【２】二面角関数のグラフ

　concaveδ24（緑），convexδ60（黄）のグラフを描いてみます．α＝φ，β＝√２のとき両者は一致しませんが，区間［１．５，１．６］に交点があることがわかります．

　この交点は

　　２π−π／２−２ａｒｃｔａｎ（α^2−１）^1/2＝ａｒｃｔａｎ（−２）＋２ａｒｃｔａｎ（β^2（５−２√５）−１）^1/2

にて，α＝β＝ωとして求めることができます．

　大雑把に数値計算してみると，

　　ω＝１．５４５３

が近似解となり，このとき二面角は

　　２π−π／２−２ａｒｃｔａｎ（ω^2−１）^1/2＝ａｒｃｔａｎ（−２）＋２ａｒｃｔａｎ（ω^2（５−２√５）−１）^1/2

　＝１７０．６４５°

となります．このことは対角線の長さの比がωの菱形を用いた凹２４面体，凸６０面体はぴったりはまりこむを意味しています．

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