３次元非周期模様では，多面体が３次元空間内で非周期的に並ぶことになる．

　６次元立方体を回転させて，３次元空間に投影するさせるのであるが，その直交補空間における菱形３０面体

［１］対角線の長さの比が黄金比となった菱形

［２］ａｒｃｔａｎ２とその補角を内角とする菱形，３０枚

内に投影された格子点のみを用いれば，２種類の菱形Ａ6，Ｏ6で空間を埋める非周期模様ができる．

　この模様は３次元ペンローズ模様と呼ばれ，正２０面体と同じ対称性を示す．なお，６０次立方体を４次元空間内に投影すると正１２０胞体と同じ対称性を示す非周期模様を作ることができる．

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［補］２ａｒｃｔａｎｘ＝ａｒｃｔａｎ（２ｘ／（１−ｘ^2））

ｘ＝１／τとおくと，右辺はａｒｃｔａｎ２となる．

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