■n次元平行多面体数(その83)

 n次元立方体[−1,1]^nを(1,1,1,・・・,1)方向の2次元平面に直投影すると,半径√nの円に内接する正2n角形となります.このとき,正2n角形は(n,2)=n(n−1)/2種類の菱形で満たされることになります.

 このことと

 正四角形:1種類の菱形→2次元立方体の射影による平面充填

 正六角形:1種類の菱形→3次元立方体の射影による平面充填

 正八角形:2種類の菱形→4次元立方体の射影による非周期的平面充填

 正十角形:2種類の菱形→5次元立方体の射影による非周期的平面充填

 正十二角形:2種類の菱形→6次元立方体の射影による非周期的平面充填

 正十四角形:3種類の菱形→7次元立方体の射影による非周期的平面充填

 正2n角形:→n次元立方体の射影による非周期的平面充填

は整合が取れているだろうか?

 前者は向きを考えているのに対して,後者は形のみを考えている.

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 正2n角形の菱形分割について,前者の立場をとれば,これは3次元空間への投影ですが,4次元空間への投影では(n,3)種類の平行六面体で満たされることになります.

 また,後者の立場を取れば,正2n角形は何種類かの菱形(正方形を含む)に分割することができます.たとえば,正方形は1種類の正方形,正六角形は1種類の菱形,正八角形は1種類の菱形と正方形,正十角形は2種類の菱形,正十二角形は2種類の菱形と正方形に分割することができます.

 その個数は(iπ/n)<π/2  (iは整数)となるn個の菱形とさらにnが偶数のときにはn/2個の正方形になります.たとえば,正十二角形の場合はπ/6菱形6個(幅の狭いもの),π/3菱形6個(中くらいの幅のもの),正方形3個に分解可能です.正十二角形の菱形分割の仕方は2通り以上ありますが,いずれのときでも菱形3種類をそれぞれ細めの菱形6個,太めの菱形6個,正方形3個を使います.

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