【１】ハーボースのタイル貼り

　ハーボースは与えられたｎに対して，平面をｎ通りに埋め尽くすようなタイル集合を作ることができるかという問題に取り組んだ．

　ｎ＝４の場合の解は正１７角形と関係する（２π／１７−１５π／１７）の菱形とそれを６つ結合させた紅葉型・王冠型タイルで，平面を４通りに埋め尽くすことができる．

　一般には，

［１］（２π／（６ｎ−７），（１−２／（６ｎ−７））π）の菱形

［２］それを（２ｎ−２）個結合させた紅葉型・王冠型タイル

で，平面を４通りに埋め尽くすことができる．

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【２】フォーデルベルクのタイル貼り

　フォーデルベルクの９角形タイルは周期的にも非周期的にも平面を充填できる．これを積み重ねることで周期的にタイル貼りできる８角形ができる．またらせん状に配置することで非非周期的に平面を充填する．

　同様な性質をもタイルとしては，正２２角形と関係する（π／１１−１０π／１１）の菱形を２分割した二等辺三角形などが発見されている．

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【３】六角形１種類による非周期的平面充填

　実は，最近まで非周期的に平面をタイル貼りできる図形は，すべて周期的にも平面を充填できると考えられていた．

　１９６４年，非周期的にタイル貼りできるが周期的にはタイル貼りできないタイルの組み（集合）が存在するというバーガーの発見には大きな注目が集まったが，このタイル貼りを実現するのには２００００種以上のタイルを必要とした．

　その後，ロビンソンはタイルの種類を６つまで減らしたが，１９７４年にイギリスの数理物理学者ペンローズの発見した，凧と矢（あるいは２種類の菱形）を組み合わせて平面を非周期的に敷きつめるものが最も構成要素の少ないものと考えられていた．ところが，・・・

［Ｑ］１個の要素からなる非周期的集合（付き合わせ条件があっても，なくてもよい）があるか？

［Ａ］実は１種類の場合が見つかっています．Joshua E. S. SocolarとJoan M. Taylorが示した非周期六角形タイルは，この問題（Einstein problem）の肯定的な解決になっています．つまり「２個の要素からなる非周期的集合」がペンローズ・タイルであり，「１個の要素からなる非周期的集合」がこの問題の解というわけです．

［参］J. E. S. Socolar and J. M. Taylor, An aperiodic hexagonal tile, Journal of Combinatorial Theory

18 (2011), 2207-2231.

［参］J. E. S. Socolar and J. M. Taylor, Forcing nonperiodicity with a single tile, to appear in Mathematical Intelligencer 33 (2011).

　なお，この非周期的タイリングは付き合わせ条件が必要な場合であって，付き合わせ条件がない凸多角形の問題ではありません．

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