［１］菱形９０面体は２種類の菱形（白銀菱形，黄金２乗菱形）からなる．しかるに，１０次元立方体を投影すると正２０角形になり，π／１０菱形１０個，π／５菱形１０個，３π／１０菱形１０個，２π／５菱形１０個，正方形５個の５種類に分解可能であること

［２］菱形１３２面体は３種類の菱形（細い菱形４８枚，中間型３６枚，太った菱形４８枚）からなる．しかるに，１２次元立方体を投影すると正２４角形になり，π／１２菱形１２個，π／６菱形１２個，π／４菱形１２個，π／３菱形１２個，５π／１２菱形１２個，正方形６個の６種類に分解可能であることで，菱形の数の整合性がとれないという点でした．

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【１】ｎ次元立方体の極投影

　（−１，−１，−１，・・・，−１）を始点として，各頂点からｎ本の稜がでるｎ本の傘の骨状のベクトル

　　ｘ＝（ａｃｏｓ２ｉπ／ｎ，ａｓｉｎ２ｉπ／ｎ，ｂ）

　　ａ＝√（２／３），ｂ＝√（１／３）

を用いて３次元空間に極投影することにします．ｎ種類の菱形面ができますが，菱形面の角の大きさθは

　　ｘ＝（ａｃｏｓ２ｉπ／ｎ，ａｓｉｎ２ｉπ／ｎ，ｂ），｜ｘ｜＝１

　　ｙ＝（ａｃｏｓ２ｊπ／ｎ，ａｓｉｎ２ｊπ／ｎ，ｂ），｜ｙ｜＝１

　　ｘ・ｙ＝２／３ｃｏｓ２（ｉ−ｊ）π／ｎ＋１／３

　　　　　＝２／３ｃｏｓ２ｋπ／ｎ＋１／３＝１−２・２／３・ｓｉｎ^2ｋπ／ｎ

より，

　　ｃｏｓθ＝２／３ｃｏｓ２ｋπ／ｎ＋１／３＝１−２・２／３・ｓｉｎ^2ｋπ／ｎ

　　θ＝ａｒｃｃｏｓ（２／３ｃｏｓ２ｋπ／ｎ＋１／３）

　　　＝２ａｒｃｓｉｎ（ｃ・ｓｉｎｋπ／ｎ）

　　ｃ＝√（２／３），ｋ＝１〜ｎ−１

また，実際の菱形面の対角線の長さの比ｒは

　　ｒ＝ｃｏｓ（θ／２）／ｓｉｎ（θ／２）

で与えられます．

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