菱形だけでできている菱形多面体の場合を考えます．菱形のすべての稜は２方向，菱形六面体のすべての稜は３方向，菱形十二面体では４方向，菱形三十面体では６方向を向いているのですが，菱形二十面体では５方向，菱形十二面体（第２種）では４方向を向いています．一般にすべての稜がｎ方向を向くとき，面数はｆ＝ｎ（ｎ−１）となります．

　　ｆ＝ｎ（ｎ−１）＝２，６，１２，２０，３０，４２，５６，・・・

　　ｅ＝２ｎ（ｎ−１）

　　ｖ＝ｎ（ｎ−１）＋２

　これらはｎ次元立方体を３次元空間に投影したものと考えることができます．菱形３０面体は６次元空間における立方体の３次元版，菱形１２面体は４次元空間における立方体の３次元版，菱形９０面体は合同な菱形だけでできている菱形多面体ではないが，１０次元空間における立方体の３次元版に相当するというわけです．

　宮崎興二先生のお話によりますと，菱形９０面体は対角線の長さの比が１：τ^2（２．６１８）の菱形３０枚と白銀菱形６０枚から構成される美しい形の多面体だそうです．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】黄金２乗菱形

　対角線の長さの比が２：２τ^2の菱形を黄金２乗菱形と呼ぶことにすると，斜辺の長さは（１＋τ^4）^1/2ですから，菱形の鈍角をθとすると

　　ｃｏｓ（θ／２）＝１／（１＋τ^4）^1/2

　　ｃｏｓθ＝２ｃｏｓ^2（θ／２）−１＝−√５／３

となって，これは正二十面体の二面角に一致します．

　一方，対角線の長さの比が２：２τの黄金菱形の斜辺の長さは（１＋τ^2）^1/2ですから，菱形の鈍角をθとすると

　　ｃｏｓ（θ／２）＝１／（１＋τ^2）^1/2

　　ｃｏｓθ＝２ｃｏｓ^2（θ／２）−１＝−√５／５

となって，これは正十二面体の二面角に一致します．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】白銀２乗菱形

　対角線の長さの比が２：２√２の白銀菱形の斜辺の長さは√３ですから，菱形の鈍角をθとすると

　　ｃｏｓ（θ／２）＝１／√３

　　ｃｏｓθ＝２ｃｏｓ^2（θ／２）−１＝−１／３

となって，これは正八面体の二面角に一致します．

　それでは対角線の長さの比が２：４の白銀２乗菱形の場合はどうなるのでしょうか？　斜辺の長さは√５ですから，菱形の鈍角をθとすると

　　ｃｏｓ（θ／２）＝１／√５　　（正十二面体の二面角の補角）

　　ｃｏｓθ＝２ｃｏｓ^2（θ／２）−１＝−３／５

となって，これに対応する正多面体はありません．

　しかし，この角度は黄金菱形の鋭角φの２倍になっています．

　　ｃｏｓ（φ／２）＝τ／（１＋τ^2）^1/2

　　ｃｏｓφ＝２ｃｏｓ^2（φ／２）−１＝１／√５

　　ｃｏｓ２φ＝２ｃｏｓ^2（φ）−１＝−３／５＝ｃｏｓθ

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【３】菱形９０面体の計量

　菱形９０面体は白銀菱形５枚からなるサクラの花を作り，それを正１２面体の各面に貼り合わせます．そして，正１２面体の各辺を黄金２乗菱形で覆った形をしています．そこで，

　　サクラの花の中心をＡ（０，０，ｈ）

　　白銀菱形の頂点をＢ（１／τ，０，ｈ／２）

　　正１２面体の正５角形面の頂点を

　　　Ｃ（τ／２，τ／２ｔａｎπ／５，０）

　　　Ｄ（τ／２，−τ／２ｔａｎπ／５，０）

とパラメトライズします．

　ピタゴラスの定理より，

　　ｈ＝√５−２

これより，

　　白銀菱形−白銀菱形間二面角は１６４．４７７°

　　白銀菱形−黄金２乗菱形間二面角は１５７．７６１°

になることが計算されます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝