ハミルトンは正１２面体の辺をたどり，２０個の頂点すべてを１回ずつ通り，出発点の戻ることは可能かという問題をたてた．これがグラフ理論の「ハミルトン閉路」という概念をもたらした．

　立方体や切頂八面体もすべての頂点を１回ずつ回るようなハミルトン閉路をもっている．このことは立方体を８角形に写し，閉路を８角形の境界に写すことと同値である．

　多面体に限らず，グラフはどんなときにハミルトングラフになるだろうか？

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【１】必要条件

　連結であること（どの頂点と底に接続する辺を削除しても連結であること）

【２】十分条件

　頂点数ｖ（≧３）のグラフが，ｖの数にかかわらずハミルトングラフになるためには，各頂点次数≧ｖ／２であること（ディラックの定理，１９５２年）．

このディラックの継父は１９３３年ノーベル物理学賞を受賞した有名なポール・ディラックである．

　頂点数ｖ（≧３）のグラフが，ｖの数にかかわらずハミルトングラフになるためには，隣接でない２頂点の頂点次数の和が≧ｖであること（オアの定理，ディラックの定理の改良版）．

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［まとめ］どうもおかしい．立方体の頂点次数は３であるが，頂点次数≦８／２＝４．

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