等式の世界も面白いが，不等式の世界だって奥深いものがある．

　鋭角三角形ならば，算術平均≧幾何平均より

　　ｔａｎα＋ｔａｎβ＋ｔａｎγ≧３3√ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ

前項より，

　　ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ≧３3√ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ

したがって，

　　ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ≧√２７＝３√３

であるから，

　　ｔａｎα＋ｔａｎβ＋ｔａｎγ≧３√３　　　（等号は正三角形のとき）

を容易に証明することができる．

　少し気分を変えて，次の不等式はどうだろうか？

（問題）

　　ｓｉｎαｓｉｎβｓｉｎγ≦３√３／８

（証明）

　　２ｓｉｎβｓｉｎγ＝ｃｏｓ（β−γ）−ｃｏｓ（β＋γ）

　　　　　　　　　　　＝ｃｏｓ（β−γ）＋ｃｏｓα

　　ｓｉｎαｓｉｎβｓｉｎγ

　＝１／２ｓｉｎα（ｃｏｓ（β−γ）＋ｃｏｓα）

　≦１／２ｓｉｎα（１＋ｃｏｓα）

　これより極大値を計算すると，３√３／８が得られる．なお，この不等式は三角形の外接円，内接円および面積をＲ，ｒ，△とすれば，

　　ａｂｃ＝４Ｒ△，（ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ＝２△

また，正弦法則

　　ａ／ｓｉｎα＝ｂ／ｓｉｎβ＝ｃ／ｓｉｎγ＝２Ｒ

より，

　　ａｂｃ≦３√３Ｒ^3

と同値である．

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　相加平均・相乗平均不等式より，

４ｓｉｎＡ／２・ｓｉｎＢ／２・ｓｉｎＣ／２

≦４（ｓｉｎＡ／２＋ｓｉｎＢ／２＋ｓｉｎＣ／２）^3／３^3

≦４／２７・（ｓｉｎＡ／２＋ｓｉｎＢ／２＋ｓｉｎＣ／２）^3

　また

ｓｉｎＡ／２＋ｓｉｎＢ／２＋ｓｉｎＣ／２≦３（ｓｉｎ（（Ａ／２＋Ｂ／２＋Ｃ／２）／３）＝３ｓｉｎπ／６＝３／２

　したがって，

ｒ／Ｒ＝４ｓｉｎＡ／２・ｓｉｎＢ／２・ｓｉｎＣ／２≦１／２

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