ヘロンの公式とは，

Δ^2＝（２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2−ａ^4−ｂ^4−ｃ^4）／１６

　　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（−ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）／１６

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　（その４）より，

Δ^2

＝（２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2−ａ^4−ｂ^4−ｃ^4）／１６

　　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（−ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）／１６

＝２Δ／ｒ・２ａｃｏｓＡ・２ｂｃｏｓＢ・２ｃｃｏｓＣ／１６

Δ＝ａｂｃ／ｒ・ｃｏｓＡ・ｃｏｓＢ・ｃｏｓＣ

ａｂｃ＝４Ｒ△

ｒ／Ｒ＝４ｃｏｓＡ・ｃｏｓＢ・ｃｏｓＣ

　ここで困るのはｃｏｓＡ・ｃｏｓＢ・ｃｏｓＣが正とは限らないことであるが，正と仮定してこのまま続ける．

　　２ｃｏｓＢｃｏｓＣ＝ｃｏｓ（Ｂ＋Ｃ）＋ｃｏｓ（Ｂ−Ｃ）

　　　　　　　　　　　＝ｃｏｓ（Ｂ−Ｃ）−ｃｏｓＡ

　　ｃｏｓＡｃｏｓＢｃｏｓＣ

　＝１／２・ｃｏｓＡ（ｃｏｓ（Ｂ−Ｃ）−ｃｏｓＡ）

　≦１／２・ｃｏｓＡ（１−ｃｏｓＡ）≦１／８

ｒ／Ｒ＝４ｃｏｓＡ・ｃｏｓＢ・ｃｏｓＣ≦１／２→Ｒ≧２ｒ

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