（その６０）はＰ＝Ｑ問題と呼ぶべきものであったが，ここからはＰ×Ｑ＝Ｒ×Ｓ問題のとりかかりたい．単数（と順序）を除いて，素因数分解は一意であるかどうかといい換えることもできるだろう．

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Ｐ×Ｑ

＝［ｐ0，０，０，０］［ｑ0，ｑ1，ｑ2，ｑ3］

　［ｐ0，ｐ1，０，０］［０，ｑ0，ｑ1，ｑ2］

　［ｐ0，ｐ1，ｐ2，０］［０，０，ｑ0，ｑ1］

　［ｐ0，ｐ1，ｐ2，ｐ3］［０，０，０，ｑ0］

＝［ｐ0ｑ0，ｐ0ｑ1，ｐ0ｑ2，ｐ0ｑ3］

　［ｐ0ｑ0，ｐ0ｑ1＋ｐ1ｑ0，ｐ0ｑ2＋ｐ1ｑ1，ｐ0ｑ3＋ｐ1ｑ2］

　［ｐ0ｑ0，ｐ0ｑ1＋ｐ1ｑ0，ｐ0ｑ2＋ｐ1ｑ1＋ｐ2ｑ0，ｐ0ｑ3＋ｐ1ｑ2＋ｐ2ｑ1］

　［ｐ0ｑ0，ｐ0ｑ1＋ｐ1ｑ0，ｐ0ｑ2＋ｐ1ｑ1＋ｐ2ｑ0，ｐ0ｑ3＋ｐ1ｑ2＋ｐ2ｑ1＋ｐ3ｑ0］

この対角要素が直積のｆベクトルである．

　第１行を第ｎ（＞１）行から引くと

＝［ｐ0ｑ0，ｐ0ｑ1，ｐ0ｑ2，ｐ0ｑ3］

　［０，ｐ1ｑ0，ｐ1ｑ1，ｐ1ｑ2］

　［０，ｐ1ｑ0，ｐ1ｑ1＋ｐ2ｑ0，ｐ1ｑ2＋ｐ2ｑ1］

　［０，ｐ1ｑ0，ｐ1ｑ1＋ｐ2ｑ0，ｐ1ｑ2＋ｐ2ｑ1＋ｐ3ｑ0］

　第２行を第ｎ（＞２）行から引くと

＝［ｐ0ｑ0，ｐ0ｑ1，ｐ0ｑ2，ｐ0ｑ3］

　［０，ｐ1ｑ0，ｐ1ｑ1，ｐ1ｑ2］

　［０，０，ｐ2ｑ0，ｐ2ｑ1］

　［０，０，ｐ2ｑ0，ｐ2ｑ1＋ｐ3ｑ0］

　第３行を第ｎ（＞３）行から引くと

＝［ｐ0ｑ0，ｐ0ｑ1，ｐ0ｑ2，ｐ0ｑ3］

　［０，ｐ1ｑ0，ｐ1ｑ1，ｐ1ｑ2］

　［０，０，ｐ2ｑ0，ｐ2ｑ1］

　［０，０，０，ｐ3ｑ0］

ｋ列の和が直積のｆkであるから，第２行〜第ｎ号を第１行に加えればｆベクトルが求められる．

　三角行列の行列式の値は対角要素の積になるから，ｐ0・・・ｐn-1ｑ0^n

これが，ｒ0・・・ｒn-1ｓ0^nに等しいことになる．

　ここで，

　　（ｒ0，・・・，ｒn-1）＝ｋ（ｐ0，・・・，ｐn-1）

　　（ｓ0，・・・，ｓn-1）＝１／ｋ（ｑ0，・・・，ｑn-1）

かどうかは決定できないが，ｐn＝１，ｑn＝１まで拡張したｆベクトルを考えればこれはあり得ない．

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［雑感］ここまでの分は，コーシー・シュワルツの不等式を使った方がきれいに証明できそうだ．

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