パスカルの三角形のｎ行の奇数と偶数の割合を計算する．ｎ→∞のとき，奇数と偶数の比は０に近づく．

　もっと正確の評価すると，はじめのｎ行に現れる奇数の個数をＰnとすると

　　０．８１２＜Ｐn／ｎ^log2/log3＜１

となるのだそうだ．

　　０．８１２・ｎ^log2/log3＜Ｐn＜ｎ^log2/log3

　log2/log3

はフラクタル次元だと思われる．

　はじめのｎ行に現れる奇数と偶数の合計はｎ（ｎ＋１）／２≒ｎ^2／２

であるから，奇数の比率Ｑnは

　　１．６２４・ｎ^log2/log3-2＜Ｑn＜２・ｎ^log2/log3-2

となって，はじめのｎ行でみてもｎ→∞のとき，奇数と偶数の比は０に近づくのである．

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【１】シェルピンスキーの三角形とパスカルの三角形

　係数が奇数である場合にそのセルを黒くするとセルオートマトンの規則９０

　　Ｃi(t+1)＝Ｃi-1(t)＋Ｃi+1(t)　　（ｍｏｄ２）

で与えられるようなネスト型の三角形パターンを生成する．このパターンはシェルピンスキーの三角形と呼ばれるモザイク模様である．

　シェルピンスキーがこの三角形を発見したのは１９１５年である．この事実は，パスカルの三角形にはまだ新たな発見があり得ることを示している．

　係数が３で割り切れないとき場合にそのセルを黒くする，係数が４で割り切れないとき場合にそのセルを黒くする，係数が５で割り切れないとき場合にそのセルを黒くする，・・・という作業を続けてた場合も左右対称なモザイク模様が現れる．

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