合同な菱形だけでできている多面体について考えます．ケプラーは対角線の比が白銀比になっている菱形十二面体と対角線の比が黄金比になっている菱形三十面体を発見しました．菱形十二面体，菱形三十面体はいずれも準正多面体の双対ですから球に外接します（内接球をもちます）．
先日，鎌倉の金原博昭さんより菱形十二面体の白銀菱形を黄金比二等辺三角形２枚で置き換えた２４面体と菱形三十面体の黄金菱形を白銀比二等辺三角形２枚で置き換えた６０面体について教えていただきました．山口の中川宏さんにお願いしてそれらを木工製作することになったのですが，その設計中，これらの黄金比三角多面体と白銀比三角多面体には相互補完的な関係にあることが判明しました．
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【１】菱形十二面体の黄金化
黄金菱形を２分割した三角形で２４面体を作ります．２分割する方法は２通りあり，長い方の対角線で２分割した鈍角二等辺三角形２４枚からは凸２４面体，短い方の対角線で２分割した鋭角二等辺三角形２４枚からは凹２４面体ができあがります．凸２４面体は内接球をもちます．
凸２４面体は三方八面体の亜種で正八面体の星形化，凹２４面体は四方六面体の亜種で立方体の星形化と考えられます．計算してみたところ，長い方の対角線で２分割した凸２４面体では正八面体の各面に二面角１４４°（底面に対する二面角２０．９０５２°）の三角錐を貼り付ける，短い方の対角線で２分割した凹２４面体では立方体の各面に底面に対する二面角５１．８２７３°の四角錐を貼り付ければよいことがわかりました．
ただし，凸２４面体は三角錐を貼り付けるよりも菱形十二面体を削って作る方が手っ取り早いようです．以下に，中川宏さんの木工模型を掲げます．
［１］凸２４面体
［２］凸２４面体と菱形十二面体
［３］凹２４面体
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【２】菱形三十面体の白銀化
白銀菱形を２分割した三角形で６０面体を作ります．２分割する方法は２通りあり，長い方の対角線で２分割した鈍角二等辺三角形６０枚からは凹６０面体，短い方の対角線で２分割した鋭角二等辺三角形６０枚からは凸６０面体ができあがります．凸６０面体は内接球をもちます．
凹６０面体は五方十二面体の亜種で正十二面体の星形化，凸６０面体は三方二十面体の亜種で正二十面体の星形化と考えられます．計算してみたところ，長い方の対角線で２分割した凹６０面体では正二十面体の各面に二面角１２０°（底面に対する二面角３５．２６４４°）の三角錐を貼り付ける，短い方の対角線で２分割した凸６０面体では正十二面体の各面に底面に対する二面角１３．２８２５°の五角錐を貼り付ければよいことがわかりました．
しかし，１３．２８２５°は薄すぎて木工製作困難です．その替わりとして，正十二面体の各面に底面に対する二面角３１．７１７５の五角錐を貼り付けて，菱形三十面体を製作して頂きました．
［１］菱形三十面体
［２］凹６０面体
凸２４面体の二面角には１４４°と１５１．２８１°の２通りあります．１５１．２８１°の凸部は凹６０面体にぴったりはまりこむはまりこむことがわかりました．
［３］凹６０面体と凸２４面体
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【３】まとめ
このように黄金比三角多面体と白銀比三角多面体には相互補完的な関係にあることはがわかりました．黄金と白銀は対比されるばかりでこれまで接点が論じられたことがなかったように思われますから，金原博昭さんのユニークなアイディアの賜物といってよいでしょう．ひょっとすると初めての発見かもしれません．
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ところで，ケプラーは複合多面体から，すべての面が合同な菱形である菱形多面体は菱形十二面体と対角線の比が黄金比になっている菱形を３０個組み合わせてできる菱形三十面体以外にはないことを証明しようとしましたが，球には外接しないものの合同な菱形だけでできている多面体には２種類の菱形六面体を除いて実はあと２つ，１８８５年にフェドロフが発見した菱形二十面体と１９６０年にビリンスキーが発見した菱形十二面体（第２種）があることがわかりました．
菱形三十面体からあるゾーン（菱形の連なった帯）を抜き取って押しつぶすと菱形二十面体，菱形二十面体からあるゾーンを抜くと菱形十二面体（第２種）になるので，これらは各面の対角線の長さの比が黄金比の菱形からなる一連のゾーン多面体と考えることができます．
凸２４面体は凹６０面体にはぴったりはまりこむのに対して，凸６０面体の凸部は凹２４面体にははまりこまないようです．しかし，金原博昭さんのお話によると，菱形二十面体を短い方の対角線で白銀化した凸４０面体と菱形十二面体（第２種）を短い方の対角線で白銀化した凸２２面体は両方とも凹２４面体にはまりこむ，また，凸２４面体は菱形二十面体を長い方の対角線で白銀化した凹３０面体にもはまりこむが，菱形十二面体（第２種）を長い方の対角線白銀化した凹２２面体にははまりこまないそうです．
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