２次方程式の解の公式は９世紀には既に知られていた．３次方程式と４次方程式の解の公式は１６世紀前半に発見された．当然ながら，次のターゲットは５次方程式の解の公式であった．

　ガロアは解の公式を探すのではなく，方程式の解を有理数に添加した数体の対称群を調べることで，解についての重要な情報を引き出すことに成功した．それによると２次方程式，３次方程式，４次方程式に対してはガロア群はつねに可解群であり，そのため，解の公式を書き下すことができる．しかし，５次方程式以上では可解群ではないため，解の公式は存在しない．

　５つの解をもつ５次方程式でが，ガロア群は５数についての置換すべてからなる群であるから，ガロア群は１２０の元から構成される．２次方程式，３次方程式，４次方程式ではそれぞれ２つ，３つ，４つの解の置換であり，２，６，２４の元から構成される．

　３次元，４次元で重複を生じるのは頂点数（ファセット数）が６，２４の正多面体があることと関係していると思われる．４次元で頂点数（ファセット数）が１２０の多面体はあるが，５次元では存在しない．

　すなわち，

　　｛３，４｝（１００）＝｛３，３｝（０１０）

　　｛３，４，３｝（１０００）＝｛３，３，４｝（０１００）

右辺は辺の中点切頂多面体である．

　そして，ｎが５以上では

　　ｎ！＞３^n−１

が成り立つので，重複が存在しないのだと考えられるのである．

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