フィボナッチの等式としてよく知られている恒等式

　　（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝（ａｃ−ｂｄ）^2＋（ａｄ＋ｂｃ）^2

は簡単に確認できます．この公式は２つの整数がともに平方数の和の形をしているなら，その２数の積も平方数で表されることを示していて，複素数と２平方和問題との関連を示しています．

　　５０＝１^2＋７^2＝５^2＋５^2

　　６５＝８^2＋１^2＝４^2＋７^2

　５０は２通りの異なる方法で，２つの平方数の和として表すことができる最小の整数であることが理解されます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　１１０５＝５・１３・１７

についても考えてみたい．

　これは４ｎ＋１型素数のはじめの３素数の積である．特別な素数である２を除外して，素数は４で割ると余りが１になるもの（５，１３，１７，２９，３７，４１，・・・）と３になるもの（３，７，１１，１９，２３，３１，・・・）の２種類に分けられます．このうち，４ｎ＋１の形の素数は２つの整数の平方の和として表されます．たとえば，

　　５＝１^2＋２^2，

　　１３＝２^2＋３^2，

　　１７＝１^2＋４^2，

　　２９＝２^2＋５^2

しかし，４ｎ＋３の形の素数は１つもこのようには表せないのです．

　また，フィボナッチの等式としてよく知られている恒等式

　　（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）

＝（ａｃ−ｂｄ）^2＋（ａｄ＋ｂｃ）^2

＝（ａｃ＋ｂｄ）^2＋（ａｄ−ｂｃ）^2

は簡単に確認できます．この公式は２つの整数がともに平方数の和の形をしているなら，その２数の積も２通りの平方数で表されることを示していて，複素数と２平方和問題との関連を示しています．

　このことから，１１０５は２つの平方数の和で４通りに表せることになる．

　　１１０５＝（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）（ｅ^2＋ｆ^2）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝