（その２）（その４）では，ウェアリングの問題の対するヨハン・アルブレヒト・オイラーの不等式『ｋを正の整数として，ｎ＝２^k［（３／２）^k］−１とするとき，ｎ＝ｘ1^k＋・・・＋ｘg^kと書かれるような最小の正の整数ｇ（ｋ）について，不等式
ｇ（ｋ）≧［（３／２）^k］＋２^k−２
が成り立つ』を紹介しました．
ｋ＝２→ｎ＝７＝２^2＋１^2＋１^2＋１^2 →ｇ（２）＝４
ｋ＝３→ｎ＝２３＝２・２^3＋７・１^3 →ｇ（３）＝９
ｋ＝４→ｎ＝７９＝４・２^4＋１５・１^4 →ｇ（４）＝１９
ｋ＝５→ｎ＝２２３＝６・２^5＋３１・１^5→ｇ（５）＝３７
のように，７を表すにはちょうど４個の平方数が必要であり，２３は９個の立方数，７９は１９個の４乗数，２２３は３７個の５乗数が必要ですから
ｇ（ｋ）＝［（３／２）^k］＋２^k−２
は平方数，立方数，４乗数，５乗数に対して最良の結果を与えています．
ｎ＝２^k［（３／２）^k］−１はｋに縛られた特別な値であって，任意の整数ではなく一般性が失われています．無論，任意の整数はすべてこの式で表せるわけでもありません．しかるに，ウェアリングの問題のかなりの範囲のところまで正しいことが確認されています．
ヨハン・アルブレヒト・オイラーの不等式は，局所情報から何がわかるかという局所情報から大域的な情報を引き出す数学の例になっています．この点がこの不等式の最大の特長なのです．
この不等式の証明は
［参］水上勉「チャレンジ！整数の問題１９９」日本評論社
のＱ１９１（p272）に掲載されています．簡単でいてしかも面白い証明ですの是非お読みください．この証明を読めば，なにゆえをもってｎ＝２^k［（３／２）^k］−１が出てきて，ｇ（ｋ）＝［（３／２）^k］＋２^k−２がウェアリングの問題のかなりの範囲のところまで正しいことがわかるはずです．
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【１】ウェアリングの問題
１７７０年，ウェアリングは４平方和定理を拡張して，
「任意の整数はたかだか９個の３乗数の和として，あるいは１９個の４乗数の和として表される」
ことを証明抜きで主張しました（９三乗数定理，１９四乗数定理）．これが，有名なウェアリングの問題です．
ｇ（２）＝４はラグランジュにより，ｇ（３）＝９はヴィーフェリッヒによって証明されました（１９０９年）．ウェアリングの問題は２次形式ではなく高次形式を扱っていて，多くの数学的思考を刺激しました．そして，１９０９年，ヒルベルトによって
「どの数もｇ個のｋ乗数の和で表される」
ことが肯定的に証明されています．
ｎ＝ｘ1^k＋・・・＋ｘg^k
ヒルベルトはｇ（ｋ）の値がｋのみによって表されることを証明したのですが，それはｇ（ｋ）の存在のみを証明したのであって具体的な値を決める方法を示したものではありませんでした．
１８５９年，リューヴィルはｇ（４）≦５３を示しました．ｇ（４）＝１９ですからこの結果は実際とはかなり隔たりがあるのですが，ｇ（４）の限界を与える方法を初めて示したことになります．そのあたりからいろいろな研究がなされることになりました．そして，１９四乗数定理：
「すべての正の整数は１９個の４乗数の和で表される」
は１９８６年に証明されています．つまり，ウェアリングの問題（１８世紀）も２００年以上かかって解決されたことになります．
なお，ｇ乗数は平方数よりもずっとまばらにしか分布しませんから，以下，３７個の５乗数の和，７３個の６乗数の和，・・・と続きます．実は，ガウス記号を用いて
ｇ（ｋ）＝［（３／２）^k］＋２^k−２
の式が正しいだろうと予想されています．１≦ｋ≦１０では
ｋ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10
下界 １ ４ ９ 19 37 73 143 279 548 1079
となり，ここに示した値はすべてこの式を満たし，かなりの範囲のところまで正しいことが確認されます．
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【２】ヨハン・アルブレヒト・オイラーの不等式
（Ｑ）ｋを正の整数として，ｎ＝２^k［（３／２）^k］−１とするとき，ｎ＝ｘ1^k＋・・・＋ｘg^kと書かれるような最小の正の整数ｇを求めよ．
（Ａ）２^k［（３／２）^k］−１＜３^kであるから，ｎをｋ乗数の和として表すときに１^kと２^kしか使えないことがわかる．
７＝２^2＋１^2＋１^2＋１^2 （ｋ＝２）
２３＝２・２^3＋７・１^3 （ｋ＝３）
のように，ｎ＝２^k＋・・・＋２^k＋・・・とできるだけ２^kを並べ，あとは１^k＋・・・＋１^kとすればよい．
そのときの２^kの個数は［（３／２）^k］−１，２^kの個数はｎ−２^k｛［（３／２）^k］−１｝＝２^k−１であるから
ｇ＝［（３／２）^k］−１＋２^k−１＝［（３／２）^k］＋２^k−２
ｇ（ｋ）≧［（３／２）^k］＋２^k−２
の不等式を証明したのはオイラーの息子，ヨハン・アルブレヒト・オイラー（１７７２年）で，この式では等号が成立すると予想されているのです．
一般に，Ａk＝［（３／２）^k］，Ｂk＝（３／２）^k−［（３／２）^k］，Ｃk＝［（４／３）^k］とおけば，すべての正の整数ｋについて
［１］Ａk＋２^kＢk≦２^kのとき
ｇ（ｋ）＝［（３／２）^k］＋２^k−２
［２］Ａk＋２^kＢk＞２^kかつＡkＣk＋Ａk＋Ｃk＝２^kのとき
ｇ（ｋ）＝［（３／２）^k］＋［（４／３）^k］＋２^k−２
［３］Ａk＋２^kＢk＞２^kかつＡkＣk＋Ａk＋Ｃk＞２^kのとき
ｇ（ｋ）＝［（３／２）^k］＋［（４／３）^k］＋２^k−３
が成り立ちます．ただし，［２］，［３］の条件を満たすｋはまだひとつも見つかっておらず，ｋ≦４７１６×１０^5のときはすべて［１］の条件を満たすとのことです．
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【３】ウェアリングの問題のもうひとつの一般化
４^k（８ｎ＋７）の形の数は４個の２乗を必要とする（たとえば，７＝２^2＋１^2＋１^2＋１^2）のに対して，９個の３乗を必要とする数は，たった２つの場合だけが知られています．
２３＝２・２^3＋７・１^3
２３９＝２・４^3＋４・３^3＋３・１^3
そして，１９３９年，ディクソンは２３，２３９以外の整数はすべて８個の３乗数の和で書けることを示しています．また，８個の立方数の和として表せない自然数は１５，２２，５０，１１４，１６９，１７５，１８６，２１２，２３１，２３８，３０３，３６４，４２０，４２８，４５４の１５個だけです．
２３と２３９を除くすべての整数が８個以下の立方数の和として表せる，また，４５４より大きいすべての整数が７個以下の立方数の和として表せる・・・このことから，十分に大きなすべてのｎに対して，Ｇ（ｋ）個のｋ乗数の和として表すことができる最小の正の整数Ｇ（ｋ）が定義されます．定義よりＧ（ｋ）≦ｇ（ｋ）ですが，この問題はウェアリングの問題のもうひとつの一般化となっています．
現在まで，４≦Ｇ（３）≦７，Ｇ（４）＝１６，６≦Ｇ（５）≦１７，９≦Ｇ（６）≦２４，８≦Ｇ（８）≦３３，１３≦Ｇ（９）≦５０，１２≦Ｇ（１０）≦５９の結果が知られています．
また，１９３７年，フアは十分に大きなすべてのｎに対して，Ｈ（ｋ）個の素数のｋ乗数の和として表すことができる最小の正の整数Ｈ（ｋ）が存在することを示しました．１９８７年，タノガサラムはＨ（５）≦２３，Ｈ（６）≦３３，Ｈ（７）≦４７，Ｈ（８）≦６３，Ｈ（９）≦８３，Ｈ（１０）≦１０３を示したのですが，ヴィノグラドフがＨ（１）≦３，フアがＨ（２）≦５，Ｈ（３）≦９を既に示しており，現在までＨ（４）≦１４，Ｈ（５）≦２１が川田，ウーリーによって，Ｈ（７）≦４６が川田，クムチェフによって得られています．
［参］Tattersall「初等整数論９章」森北出版
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【４】おまけ（オイラー予想とその反例）
オイラーは，フェルマー予想の条件をゆるめて一般化した問題
『ｘ1^n＋ｘ2^n＋・・・＋ｘn-1^n＝ｘn^n，たとえば，ｘ^4＋ｙ^4＋ｚ^4＝ｗ^4にも自然数解がない』と予想しました．この不定方程式には整数解がないであろうことが長い間予想されていて，モーデルはコンピュータを使ってｗ＜２２００００の範囲でこの問題は成立することを紹介しています．
オイラーの予想は正しいと信じられてきましたが，オイラーの推測からおよそ２００年後，コンピュータを使って
２７^5＋８４^5＋１１０^5＋１３３^5＝１４４^5 （１９６６年）
９５８００^4＋２１７５１９^4＋４１４５６０^4＝４２２４８１^4 （１９８８年）
２６８２４４０^4＋１５３６５６３９^4＋１８７９６７６０^4＝２０６１５０７３^4 （１９８８年）
などのオイラー予想に対する反例が発見されました．
反例が現れる網を絞り込んで，最後にコンピュータを使ってこの例を仕留めたのです．さらに，エルキースにより，ｘ^4＋ｙ^4＋ｚ^4＝ｗ^4には無数の解があることが楕円曲線の理論に基づいて示されました（１９８８年）．
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