一般のｎ次元空間における鏡映変換は

　　β−ｃα，ｃ＝２（β，α）／（α，α）

で与えられる．鏡映とは折り返しのことであるが，ｎ次元空間の平行移動も回転運動も高々ｎ＋１個の鏡映の積として表すことができることが証明されている．今回のコラムでは，エンゲルの３８面体における立方体対称空間群を取り上げてこのことについて調べてみたい．

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【１】エンゲルの３８面体における立方体対称空間群

［１］（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝（１／４−ｘ，１／４−ｙ，１／４−ｚ）

　エンゲルの３８面体の第１面は

　　（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝（１／４−ｘ，１／４−ｙ，１／４−ｚ）

の鏡面として与えられる．

　この変換は（１／８，１／８，１／８）を中心とする１８０°回転移動であるから，ｘ＋ｙ＋ｚ＝３^1/3／８に関する鏡映であり，

ｘ＝１／８に関する鏡映→（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝（１／４−ｘ，ｙ，ｚ）

ｙ＝１／８に関する鏡映→（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝（１／４−ｘ，１／４−ｙ，ｚ）

ｚ＝１／８に関する鏡映→（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝（１／４−ｘ，１／４−ｙ，１／４−ｚ）

の３段階の鏡映の積として表すことができる．

［２］（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝（１／２−ｘ，ｙ，−ｚ）

　第２面は

ｘ＝１／４に関する鏡映→（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝（１／２−ｘ，ｙ，ｚ）

ｚ＝０に関する鏡映　　→（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝（１／２−ｘ，ｙ，−ｚ）

の２段階の鏡映の積として表すことができる．

［３］（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝（１／２＋ｚ，１／２＋ｘ，−１／２＋ｙ）

　第３面は

ｚ＝ｘ−１／２に関する鏡映→（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝（１／２＋ｚ，ｙ，−１／２＋ｘ）

ｚ＝ｙ＋３／２に関する鏡映→（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝（１／２＋ｚ，１／２＋ｘ，ｙ＋１）

ｚ＝１／４に関する鏡映　　→（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝（１／２＋ｚ，１／２＋ｘ，−１／２＋ｙ）

の３段階の鏡映の積として表すことができる．

　ここでは３８面すべてについて確認することはしないが，エンゲルの３８面体の設計ではコンピュータを使って１≧ｘ≧ｙ≧ｚ≧０の領域内の点について鏡映変換の組み合わせを試行している．この領域は立方体[0,1]^3の１／６の鼈臑（べつどう）型空間である．

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【２】空間充填四面体

　　GOLDBERG M.: the infinite families of tetrahedral space-filler, J. Combinat. Theory A16(1974), 384-354

には空間充填多面体が５種類紹介されている．それらにはSommerville No.1-4とHill, second typeと命名されている．

　一方，

　　ENGEL P.: Die Typen von Wirkungsbereichspolyedern in den symmorphen kubischen Raumgruppen, Zeitschr. Kristallographie, 157(1981), 259-275

には６種類の空間充填多面体が紹介されていて，Sommerville No.1-4とHadwiger-Hill H30(0),H31(0)とある．

　空間充填四面体についてさえ，これですべてかどうかわからないのである．なお，ほとんど知られていないが，１≧ｘ≧ｙ≧ｚ≧０の鼈臑（べつどう）は立方体の中心を通る平面ｘ＋ｙ＋ｚ＝３／２で２等分することができる．この図形も空間充填多面体であり，秋山仁先生によりペンタドロンと名付けられた．

　ペンタドロンは平行多面体の元素σである．

　　［定理］平行多面体の元素数は１である（立方体σ12（σ96），６角柱σ144，菱形１２面体σ192，長菱形１２面体σ384，切頂８面体σ48）．

　鼈臑（べつどう）はσ2であるが，σ2にはいくつかの空間充填異性体が存在する．

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