エンゲルの論文

　　ENGEL P.: Ueber Wirkungsbereichsteilungen mit kubischer Symmetrie, Zeitschr. Kristallographie, 154(1981), 199-215

の第２報

　　ENGEL P.: Die Typen von Wirkungsbereichspolyedern in den symmorphen kubischen Raumgruppen, Zeitschr. Kristallographie, 157(1981), 259-275

を入手．（その１）−（その３）に掲げた多面体の頂点の空間座標は，その値を１／２にしたほうがよいことがわかったのだが，それは１辺の長さが２の立方体を単位立方体に変更するだけのことであって，実害はないので訂正しないでおく．

　その替わりというわけではないが，今回のコラムでは立方体対称空間群における鏡映変換について考えてみることにしたい．

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【１】平面における鏡映

　直線：ａｘ＋ｂｙ＝ｃに関する鏡映により，点（ｘ，ｙ）が点（Ｘ，Ｙ）に変換されたとすると，

　　ａ（Ｘ＋ｘ）／２＋ｂ（Ｙ＋ｙ）／２＝ｃ

　　（Ｘ−ｘ）／ａ＝（Ｙ−ｙ）／ｂ

より，

　　Ｘ＝（２ａｃ＋（−ａ^2＋ｂ^2）ｘ−２ａｂｙ）／Δ

　　Ｙ＝（２ｂｃ−２ａｂｘ＋（ａ^2−ｂ^2）ｙ）／Δ

　　Δ＝ａ^2＋ｂ^2

　一般に，鏡映変換後の座標はｘ，ｙに関する２変数関数Ｘ＝ｆ（ｘ，ｙ），Ｙ＝ｇ（ｘ，ｙ）として与えられる．これらが１変数関数となるのは，

　　ａ^2−ｂ^2＝０またはａｂ＝０→ａ＝±ｂ，ａ＝０またはｂ＝０

すなわち，直線が原点を中心とする正方形の辺や対角線に平行なときである．

　１変数関数の鏡映の例としては，

　　ｙ軸に関する鏡映：　Ｘ＝−ｘ，Ｙ＝ｙ

　　ｘ＝ａに関する鏡映：　Ｘ＝２ａ−ｘ，Ｙ＝ｙ

　　ｙ＝ｘに関する鏡映：　Ｘ＝ｙ，Ｙ＝ｘ

　　ｙ＝ｘ＋ａに関する鏡映：　Ｘ＝ｙ−ａ，Ｙ＝ｘ＋ａ

　　ｙ＝−ｘに関する鏡映：　Ｘ＝−ｙ，Ｙ＝−ｘ

　　ｙ＝−ｘ＋ａに関する鏡映：　Ｘ＝−ｙ＋ａ，Ｙ＝−ｘ＋ａ

などがあげられる．

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【２】空間における鏡映

　平面：ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＝ｄに関する鏡映は，

　　ａ（Ｘ＋ｘ）／２＋ｂ（Ｙ＋ｙ）／２＋ｃ（Ｚ＋ｚ）／２＝ｄ

　　（Ｘ−ｘ）／ａ＝（Ｙ−ｙ）／ｂ＝（Ｚ−ｚ）／ｃ

より，巡回置換になるように計算すると

　　Ｘ＝（２ａｄ＋（−ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）ｘ−２ａｂｙ−２ａｃｚ）／Δ

　　Ｙ＝（２ｂｄ−２ａｂｘ＋（ａ^2−ｂ^2＋ｃ^2）ｙ−２ｂｃｚ）／Δ

　　Ｚ＝（２ｃｄ−２ａｃｘ−２ｂｃｙ＋（ａ^2＋ｂ^2−ｃ^2）ｚ）／Δ

　　Δ＝ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2

　３変数関数Ｘ＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ），Ｙ＝ｇ（ｘ，ｙ，ｚ），Ｚ＝ｈ（ｘ，ｙ，ｚ）となったが，これらが１変数関数になるのは平面が原点を中心とする立方体の面や対角線を含む面に平行な場合と予想される．実際に求めてみよう．

［１］Ｘ＝ｆ（ｘ），Ｙ＝ｇ（ｙ），Ｚ＝ｈ（ｚ）の場合

　　ａｂ＝０かつａｃ＝０かつｂｃ＝０→ａ＝ｂ＝０またはｂ＝ｃ＝０またはｃ＝ａ＝０→面に平行

［２］Ｘ＝ｆ（ｘ），Ｙ＝ｈ（ｚ），Ｚ＝ｇ（ｙ）の場合

　　ａｂ＝０かつａｃ＝０かつａ^2−ｂ^2＋ｃ^2＝０かつａ^2＋ｂ^2−ｃ^2＝０→ａ＝０かつｂ＝±ｃ→ｙ＝±ｚ面に平行

［３］Ｘ＝ｇ（ｙ），Ｙ＝ｆ（ｘ），Ｚ＝ｈ（ｚ）の場合

　　ａｃ＝０かつｂｃ＝０かつ−ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝０かつａ^2−ｂ^2＋ｃ^2＝０→ｃ＝０かつａ＝±ｂ→ｘ＝±ｙ面に平行

［４］Ｘ＝ｇ（ｙ），Ｙ＝ｈ（ｚ），Ｚ＝ｆ（ｘ）の場合

　　ａｂ＝０かつａｃ＝０かつｂｃ＝０かつ−ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝０かつａ^2−ｂ^2＋ｃ^2＝０かつａ^2＋ｂ^2−ｃ^2＝０→ａ＝ｂ＝ｃ＝０

［５］Ｘ＝ｈ（ｚ），Ｙ＝ｆ（ｘ），Ｚ＝ｇ（ｙ）の場合

　　ａｂ＝０かつａｃ＝０かつｂｃ＝０かつ−ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝０かつａ^2−ｂ^2＋ｃ^2＝０かつａ^2＋ｂ^2−ｃ^2＝０→ａ＝ｂ＝ｃ＝０

［６］Ｘ＝ｈ（ｚ），Ｙ＝ｇ（ｙ），Ｚ＝ｆ（ｘ）の場合

　　ａｂ＝０かつｂｃ＝０かつ−ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝０かつａ^2＋ｂ^2−ｃ^2＝０→ｂ＝０かつａ＝±ｃ→ｘ＝±ｚ面に平行

　以上より，９つの面に平行な場合だけのように思えるのだが，たとえば，ｘ＝１／８に関する鏡映→ｙ＝１／８に関する鏡映→ｚ＝１／８に関する鏡映の３段階によって移すと，

　　（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝（１／４−ｘ，１／４−ｙ，１／４−ｚ）

となり，±ｘ±ｙ±ｚ＝ａに平行な鏡映も含まれることになるから，立方体対称空間群といえども複雑なものになることがわかる．

［補］一般のｎ次元空間における鏡映変換は

　　β−ｃα，ｃ＝２（β，α）／（α，α）

で与えられる．

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