正五角形の面積を２等分することを考える．頂点と対辺の中点を結ぶ線分

　　１＋ｃｏｓ３６°＝（５＋√５）／４＝１．８０９０２・・・

と２辺に直交する円弧との比較になるものと思われる．

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　正五角形の頂点の座標を

　　（ｃｏｓ２ｋπ／５，ｓｉｎ２ｋπ／５）

とする．正五角形の面積は，

　　Ｓ＝５ｓｉｎ３６°ｃｏｓ３６°

　Ｐ1Ｐ2とＰ3Ｐ4に直交する円弧の中心を（−ｃ，０）にとる．中心はＰ1Ｐ2とＰ3Ｐ4の延長の交点になるから，円弧の頂角は３６°であるから，

　　ｃ＝２ｃｏｓ^2１８°＋ｃｏｓ３６°＝１＋２ｃｏｓ３６°

　　ｈ＝ｃ−ｃｏｓ３６°＝１＋ｃｏｓ３６°

　　πｒ^2／１０−ｈｓｉｎ３６°＝Ｓ／２

　　πｒ^2／１０−（１＋ｃｏｓ３６°）ｓｉｎ３６°＝５／２・ｃｏｓ３６°ｓｉｎ３６°

　　πｒ^2／１０＝７／２・ｃｏｓ３６°ｓｉｎ３６°＋ｓｉｎ３６°

＝（１５＋７√５）／８・ｓｉｎ３６°

　　ｒ＝２．６７７４６・・・

　求めたい弧長は

　　πｒ／５＝１．６８２２９・・・

これは頂点と対辺の中点を結ぶ線分より短いことがわかる．辺の長さ２ｓｉｎ３６°で基準化すると

　　πｒ／（１０ｓｉｎ３６°）＝１．４３１０５・・・

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