正三角形の面積を２等分する線の問題である．正三角形の１辺の長さを１とする（面積√３／４）．底辺に垂直な線で２等分すると垂線の長さは√３／２＝０．８６６０２５・・・となる．

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【Ｑ１】底辺と平行な線で切って，面積を２等分するにはどこで切ればよいか．

（Ａ１）水平線の長さｘとすると

　　√３／２ｘ^2＝√３／４　　　ｘ＝√２／２

したがって，水平線の長さは√２／２＝０．７０７１０７・・・となり垂線の長さ√３／２よりこの方が短い．

　正三角形の場合に限らず，３角形の中線は面積を２等分する．１辺に平行で他の２辺を（√２−１）：１で内分する線分も３角形の面積の２等分線となる．

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　（Ｑ１）の水平線は最短の２等分直線であるが，２等分曲線にはもっと短いものがある．

【Ｑ２】正三角形を最短長の曲線で２等分せよ．

（Ａ２）正三角形を次々に辺について反転させて１頂点のまわりに６個集めて正六角形を作る（面積３√３／２）．そして，六角形の中心を中心とする円でこの面積を２等分する．円の半径をｘとすると

　　πｘ^2＝３√３／４

　　ｘ＝（３√３／４π）^(1/2)＝０．６４３０３７・・・

したがって，円弧の長さは

　　π／３（３√３／４π）^(1/2)＝０．６７３３８７・・・

となり，このほうが短いことがわかる．

　モーザーはこのようにして最短周長曲線は円弧であることを示した．等分曲線がどのような形であろうと正三角形を次々に辺について反転させて１頂点のまわりに６個集めて正六角形を作れば２等分曲線は閉曲線になるから，円が与えられた面積を囲む最短周長曲線であるというわけである．

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