今回のコラムでは（その３０）を補足説明したいと思います．
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【１】ゼータ関数とガンマ関数
ゼータ関数とガンマ関数との間に
ζ(x)=1/Γ(x)∫(0,∞)t^(x-1)/(exp(x)-1)dt
ζ(x)=1/(1-2^(1-x))Γ(x)∫(0,∞)t^(x-1)/(exp(x)+1)dt
が成り立ちます．まず最初にこれらを導いてみましょう．
Γ(s)=∫(0,∞)t^(s-1)exp(-t)dt
にｔ＝ｎｘを代入するならば
Γ(s)／ｎ^s=∫(0,∞)x^(s-1)exp(-nx)dx
が得られる．この式のｎについての総和をとるなら
ΣΓ(s)／ｎ^s=Σ∫(0,∞)x^(s-1)exp(-nx)dx
=∫(0,∞)x^(s-1)exp(-x){1+exp(-x)+exp(-2x)+･･･}dx
=∫(0,∞)x^(s-1)exp(-x)/(1-exp(-x))dx
１＋ｘ＋ｘ^2＋ｘ^3＋・・・＝１／（１−ｘ）
=∫(0,∞)x^(s-1)/(exp(x)-1)dx
これより
Γ(s)ζ(s)=∫(0,∞)x^(s-1)/(exp(x)-1)dx
が得られる．
また，交代級数
φ(s)=１−１／２^s＋１／３^s−１／４^s＋・・・=Σ(-1)^(n-1)／ｎ^s
を考えます．負項を正項に変えて，あとでその２倍を引きます．
φ(s)=（１＋１／２^s＋１／３^s＋１／４^s＋・・・）−２（１／２^s＋１／４^s＋・・・）
=（１＋１／２^s＋１／３^s＋１／４^s＋・・・）−２^(1-s)（１＋１／２^s＋１／３^s＋１／４^s＋・・・）=（１−２^(1-s)）ζ(s)
となります．
ΣΓ(s)(-1)^(n-1)／ｎ^s=Σ∫(0,∞)x^(s-1)(-1)^(n-1)exp(-nx)dx
=∫(0,∞)x^(s-1)exp(-x){1-exp(-x)+exp^(-2x)-･･･}dx
=∫(0,∞)x^(s-1)exp(-x)/(1+exp(-x))dx
１−ｘ＋ｘ^2−ｘ^3＋・・・＝１／（１＋ｘ）
=∫(0,∞)x^(s-1)/(exp(x)+1)dx
これより
Γ(s)ζ(s)(1-2^(1-x))=∫(0,∞)x^(s-1)/(exp(x)+1)dx
が得られる．
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【２】ベルヌーイ数とオイラー数
［１］ベルヌーイ数
有名なベルヌーイ数列｛Ｂn｝の指数型母関数は
ｘ／（ｅｘｐ（ｘ）−１）
で与えられます．すなわち，ベルヌーイ数は
ｘ／（ｅｘｐ（ｘ）−１）
＝Ｂ0／０！＋Ｂ1／１！ｘ＋Ｂ2／２！ｘ^2＋Ｂ3／３！ｘ^3＋・・・
＝ΣＢnｘ^n／ｎ！
で定義される有理数で，係数Ｂn はベルヌーイ数と呼ばれます．
容易にわかるように
ｌｉｍ(x→0)ｘ／（ｅｘｐ（ｘ）−１）＝１
が成立します．
具体的に係数Ｂnを求めてみましょう．定義より，ベルヌーイ級数はべき級数
（ｅｘｐ（ｘ）−１）／ｘ＝１＋１／２！ｘ＋１／３！ｘ^2＋１／４！ｘ^3 ＋・・・
の反転級数と考えることができます．
ｅｘｐ（ｘ）＝１＋１／１！ｘ＋１／２！ｘ^2＋・・・
ですから
ｘ／（ｅｘｐ（ｘ）−１）=x/(x+x^2/2!+x^3/3!+･･･)
=1/(1+x/2!+x^2/3!+･･･)
=1-(1+x/2!+x^2/3!+･･･)+(1+x/2!+x^2/3!+･･･)^2-･･･
=1-1/2x+1/6x^2-1/30x^4+･･･
これよりＢ0＝１，Ｂ1＝−１／２で
ｘ／（ｅｘｐ（ｘ）−１）−Ｂ1 ／１！ｘ＝ｘ／２・（ｅｘｐ（ｘ）＋１）／（ｅｘｐ（ｘ）−１）
は偶関数ですから，奇数項は第一項以外は０で，偶数項はＢ2＝１／６，Ｂ4＝−１／３０，Ｂ6＝１／４２，Ｂ8＝−１／３０，Ｂ10＝５／６６，Ｂ12＝−６９１／２７３０，Ｂ14＝７／６，Ｂ16＝−３６１７／５１０，Ｂ18＝４３８６７／７９８であとは分子が急速に大きくなり，たとえば，Ｂ32＝−７７０９３２１０４１２１７／５１０，Ｂ34＝２５７７６８７８５８３６７／６です．分母は必ず６で割り切れます．
ベルヌーイ数については，再帰公式
（Ｂ＋１）^n-Ｂ＾n＝０
が成り立ちます．ただし，２項展開してからＢ^nをＢnで置き換えることにします．また，Ｂn（ｘ）はベルヌーイ多項式で，０での値Ｂn＝Ｂn（０）はベルヌーイ数と呼ばれています．
［２］オイラー数
ベルヌーイ数と似たものにオイラー数やタンジェント数があります．オイラー数は
ｓｅｃｈｘ＝ΣＥn／ｎ！ｘ^n
＝Ｅ0／０！＋Ｅ2／２！ｘ^2＋Ｅ4／４！ｘ^4＋・・・
で，べき級数
ｃｏｓｈｘ＝１＋１／２！ｘ^2＋１／４！ｘ^4＋１／６！ｘ^6＋・・・
の反転級数として定義されます．
オイラー数では再帰公式
（Ｅ＋１）^n-（Ｅ−１）^n＝０
が成り立ちます．
E0=1,E2=-1,E4=5,E6=-61,E8=1385,E10=-50521,･･･
E1=E3=E5=･･･=0
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