Ｌ関数
Ｌ(s)=１／１^s−１／３^s＋１／５^s−１／７^s＋・・・
はゼータ関数の兄弟分にあたります．
Ｌ(1)=１／１−１／３＋１／５−１／７＋・・・=π／４
はその特殊値で，グレゴリー・ライプニッツ級数として知られています．
Ｌ(2)=１／１^2−１／３^2＋１／５^2−１／７^2＋・・・
はカタランの定数として知られるもので，第１種完全楕円積分を用いると
Ｌ(2)=2∫(0,1)Ｋ(k)dk=1/2∫(0,π/2)θ/sinθdθ=0.91596･･･
に等しくなりますが，明示的な値は不明です．
杉岡幹生氏のＨＰ
http://www5b.biglobe.ne.jp/~sugi_m/page182.htm
http://www5b.biglobe.ne.jp/~sugi_m/page185.htm
ではフーリエシステムと奇数ゼータの話題を取り上げていますが，今回のコラムではそのＬ関数版として，フーリエシステムと偶数Ｌの話題を取り上げることにします．
http://www5b.biglobe.ne.jp/~sugi_m/page188.htm
http://www5b.biglobe.ne.jp/~sugi_m/page189.htm
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【１】ディリクレのＬ関数
［１］ガンマ関数の定義式より
∫(0,∞）x^(s-1)exp(-nx)dx=Γ(s)n^(-s)
ですから，ディリクレ級数 Σａn／ｎ^sについて
Σａn／ｎ^s=1/Γ(s)∫(0,∞)(Σａnexp(-nt))t^(s-1)dt
が得られますが，この式はディリクレ級数f(s)=Σａn／ｎ^sと同じ係数をもつベキ級数F(z)=Σａnz^nはメリン変換
f(s)=1/Γ(s)∫(0,∞)F(exp(-t))t^(s-1)dt
によって互いに結ばれていることを意味します．
例えば
(1)ζ(ｓ)=Σ１／ｎ^sにおいてF(exp(-t))=Σexp(-nt)=1/(exp(t)-1)
(2)φ(s)=Σ(-1)^(n-1)／ｎ^s=(1-2^(1-s))ζ(ｓ)において
F(exp(-t))=(-1)^(n-1)exp(-nt)=1/(exp(t)+1)
(3)Ｌ(s)=１／１^s−１／３^s＋１／５^s−１／７^s＋・・・において
F(exp(-t))=1/(exp(t)+exp(-t))
したがって，
Γ(s)ζ(s)=∫(0,∞)x^(s-1)/(exp(x)-1)dx
Γ(s)ζ(s)(1-2^(1-x))=∫(0,∞)x^(s-1)/(exp(x)+1)dx
Ｌ(s)=1/Γ(s)∫(0,∞)t^(s-1)/(exp(t)+exp(-t))dt
関数論において，ベキ級数は基本的な役割を演じますが，メリン変換によって，ベキ級数の性質からディリクレ級数の性質を導いたり，その逆も可能になります．ゼータ関数は最も簡単かつ最も重要なディリクレ級数f(s)=Σａn／ｎ^sですが，メリン変換は（解析的数論における）ゼータ関数と（関数論における）保型関数（ある種の２重周期的挙動をする複素変数関数）を結ぶ装置として，数論の世界では決定的に重要な意味をもっています．
［２］また，ベルヌーイ数とゼータ関数の関係
ζ(2n)=(-1)^(n-1)2^(2n-1)Ｂ2n／(2n)!π^2n
ζ(2n+1)=(-1)^(n+1)(2π)^(2n+1)／2(2n+1)!∫(0,1)Ｂ2n+1(x)cot(πx)dx
ζ(1-2n)=−Ｂ2n／2n
に対して，オイラー数とＬ関数の関係
Ｌ(2n+1)=(-1)^nＥ2n/2^(2n+2)(2n)!π^(2n+1))
Ｌ(2n)=(-1)^nπ^2n／4(2n-1)!∫(0,1)Ｅ2n-1(x)sec(πx)dx
Ｌ(-n)=1/2Ｅn
があります．
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【２】フーリエシステムと偶数Ｌ
f(x)=Σ(-1)^(n-1)cos((2n+1)x)/(2n+1)^2
に対して
(-1)^(n-1)/(2n+1)^2=2/π∫(-π/2,π/2)f(x)cos((2n+1)x)dx
これを部分積分すると
(-1)^(n-1)/(2n+1)^2=2/π∫(-π/2,π/2)(Σ(-1)^(k-1)sin((2k+1)x)/(2k+1))sin((2n+1)x)/(2n+1)dx
これを縦に足し合わせると
Σ(-1)^(n-1)/(2n+1)^2=2/π∫(-π/2,π/2)(Σ(-1)^(k-1)sin((2k+1)x)/(2k+1))Σsin((2n+1)x)/(2n+1)dx
ここで，フーリエ級数の公式
Σsin((2n+1)x)/(2n+1)=π/4
Σ(-1)^(n-1)sin((2n+1)x)/(2n+1)=log(tanx+1/cosx)/2
より
L(2)=Σ(-1)^(n-1)/(2n+1)^2=1/4∫(-π/2,π/2)log(tanx+1/cosx)dx
である．
同様に，
f(x)=Σ(-1)^(n-1)cos((2n+1)x)/(2n+1)^4
に対して
(-1)^(n-1)/(2n+1)^4=2/π∫(-π/2,π/2)f(x)cos((2n+1)x)dx
これを部分積分すると
(-1)^(n-1)/(2n+1)^4=2/π∫(-π/2,π/2)(Σ(-1)^(k-1)sin((2k+1)x)/(2k+1)^3)sin((2n+1)x)/(2n+1)dx
これを縦に足し合わせると
Σ(-1)^(n-1)/(2n+1)^4=2/π∫(-π/2,π/2)(Σ(-1)^(k-1)sin((2k+1)x)/(2k+1)^3)Σsin((2n+1)x)/(2n+1)dx
ここで，フーリエ級数の公式
Σsin((2n+1)x)/(2n+1)^3=πx(π-x)/8
Σ(-1)^(n-1)sin((2n+1)x)/(2n+1)=log(tanx+1/cosx)/2
より
L(4)=Σ(-1)^(n-1)/(2n+1)^2=1/8∫(-π/2,π/2)x(π-x)log(tanx+1/cosx)dx
である．
このようにして，杉岡氏は
Ｌ(2n)=∫(0,π/2)(２ｎ次多項式)log(tanx+1/cosx)dx
を示して，奇数ゼータが明示的に求めらない理由として，数回微分してlog(tanx+1/cosx)になる初等関数が存在しないことをあげています．
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【３】フーリエシステムと偶数Ｌ（その２）
すでに，杉岡氏は奇数ゼータζ(3)，ζ(5)，・・・の非明示は
ｙ’＋ｙ^2＝−１ → 初等関数ｙ＝１／ｔａｎ（ｘ＋Ｃ）
ｙ”＋ｙ’^2＝−１ → 初等関数ｙ＝ｌｏｇ（ｓｉｎ（ｘ＋Ｃ））
ｙ^(3)＋｛ｙ^(2)｝^2＝−１ → 初等関数解なし
ｙ^(4)＋｛ｙ^(3)｝^2＝−１ → 初等関数解なし
ｙ^(5)＋｛ｙ^(4)｝^2＝−１ → 初等関数解なし
ｙ^(n+1)＋｛ｙ^(n)｝^2＝−１ → ｎ≧２のとき，初等関数解なし
との関連性を指摘していますが，偶数Ｌの非明示に対しては
（ｙ’）^2＝ｙ^4−ｙ^2 → 初等関数ｙ＝１／ｃｏｓ（ｘ＋Ｃ）
（ｙ”）^2＝（ｙ’）^4−（ｙ’）^2 → 初等関数ｙ＝ｌｏｇ（ｔａｎ（ｘ＋Ｃ）＋１／ｃｏｓ（ｘ＋Ｃ））
（ｙ^(3)）^2＝（ｙ^(2)）^4−（ｙ^(2)）^2 → 初等関数解なし
（ｙ^(4)）^2＝（ｙ^(3)）^4−（ｙ^(3)）^2 → 初等関数解なし
（ｙ^(5)）^2＝（ｙ^(4)）^4−（ｙ^(4)）^2 → 初等関数解なし
（ｙ^(n+1)）^2＝（ｙ^(n)）^4−（ｙ^(n)）^2 → ｎ≧２のとき，初等関数解なし
さらに奇数Ｌの明示が
ｙ^(n)＝π／４
なる初等関数の存在と関連することを指摘しています．これらの初等関数は簡単に求められますから，すべての奇数Ｌは明示的に求まるというわけです．
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