■病理形態学原論
わたしは商売柄「がん細胞はどのような形をしているのか？」という質問をよく受ける．即座に「１４面体」と答えることにしているのだが，これは決してあてずっぽうとか予想・予言の類ではない．ザクロ，ハチの巣，石鹸の泡などのように，空間がある立体（多面体）によって分割される空間分割は，生物と無生物を問わず，自然界に広く見られる現象であるが，空間分割における多面体の面数は１４面，面の形は五角形がもっとも多いことが知られているからである．
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【１】形の構築学
構築模型の例として，六花という異名をもつ雪がなぜ六角形をしているのだろうかという問題を考えてみよう．ケプラーが雪の結晶はなぜ六角形であるのかと考えたのは１６１１年のことであった．六角形は蜂の巣など現実世界で非常によく見られる形である．そして，ケプラーの考えた雪片の構成原理は六角充填の効率性と関連しているというものであった．ケプラーといえば，惑星の運行法則で有名であるが，天文サイズばかりでなく，ミクロな世界にまで注目し「神のなせる業」を見いだそうとしていたのである．
分子が実在のものとして認識されるようになった今日的な知識からすると，水分子の結晶構造が六角を基本とするからというのがひとつの内因になっていることは間違いない．そして，形に内在する原理を初めて見知ったひとはその形の美しさにまず驚くとともに，やがてナゼ？という疑問をもつに違いない．不思議さに魅せられたならばすでに「形の構築学」の問題領域である．
多細胞からなる生体の構築の原理も然りである．多細胞からなる生体の構築が遺伝情報とはまったく別の原理に基づいてどうしてこのような形にならざるを得ないか，ある原理からどの程度理論的に誘導できるかという点に対しては，これまでほとんど手のつけようのなかった問題領域である．「形の構築学」の答えは完全には与えられていないのである．
諏訪紀夫「病理形態学原論」岩波書店（１９８１年）は，そのような問題領域に対して，独自の視点から企画された著書である．あまり知られていない一冊ではあるが，科学者の目で自然を洞察し，詩人の心をもってペンを走らせたと思われる良書であって，今日でも若い学徒たちへの入門書として極めて高い価値をもっている．そこで本稿では形態学研究の入門編として，当該著書から
［１］１４面体による空間分割
［２］安定な空間分割
［３］５角形面をもつ空間分割
の３つのテーマを取り上げ，その科学的根拠について述べていくことにしたい．これから説明することは当該著書に負うところが大きいが，諏訪先生の研究の受け売りにならぬよう，今日的な知識で補完していることを申し添えておきたい．
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【２】空間分割と１４面体
空間分割の話にはいる前に，平面分割の幾何学的性質を調べてみよう．レンガのブロック積みを考える．３つのレンガが１点で出会うように平面を敷き詰めると，すべてのレンガは周りの６つのレンガに接することがわかる．お城の石垣でもタマネギの細胞でもこのような原則が成り立っていて，このことから平面充填図形の基本形は６角形（honeycomb structure）であるといえる．６角形の１組の対辺を退化させると４角形になるが，それは６角形から２次的に派生したものと考えることができるだろう．
次に，空間分割のブロックモデルを考える．１段目を敷き詰めたあと，２段目も１段目と同じように敷き詰めるが，１段目のレンガのすべての頂点を２段目のレンガで覆うようにずらして積み重ねると，１段目のレンガの上には４つのレンガが載ることになる．３段目も同様に行うと同じ段に６，上の段に４，下の段にも４で合計１４のレンガに接することになる．このことからレンガは元々１４面体であって，それが普通のレンガの形に圧縮されたものと考えることができる．
実際の観察結果では面の数は一義的には決まらず，統計的にしか扱えないのであるが，面の数ｆはほぼ１４をピークとする分布を示すことが認められている．たとえば，植物細胞についての観察結果では全体の７４％が１２〜１６面であり，５６％が１３〜１５面（平均１３．９６面）という値が得られている．また，金属ガラスの構造で最も多い面の数はｆ＝１４（〜３５％），ついでｆ＝１５（〜２５％）とｆ＝１３（〜２０％）が続く．
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【３】フェドロフの平行多面体
面の数は１４面であることはわかったが，面の形はどうなるのだろうか？ 以下ｖ，ｅ，ｆをそれぞれ頂点，辺，面の数とする．空間充填多面体の基本形は１４面体であるとはいってもｆ＝１４という条件を満たす多面体には膨大な種類がある．しかし，幸いなことにここで考えるべき空間充填多面体はフェドロフの平行多面体に限定することができる．
平行多面体とは辺が平行（したがって平行四辺形面，平行六辺形面に限られる），面が平行，そして平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる単独の多面体である．平行多面体には立方体，六角柱，菱形十二面体，長菱形十二面体，切頂八面体の５種類しかない．これら５種類の図形（フェドロフの平行多面体）は３次元格子の幾何学的分類であって，５種類の正多面体（プラトン立体）ほどよく知られていないが，少なくとも同じ程度に重要であると考えられる．このうち１４面多面体は切頂八面体だけであることに着目していただきたい．切頂八面体以外の４つの多面体は切頂八面体の辺を点に縮めることによって得られるので，切頂八面体は「原始的平行多面体」と呼ばれ，ほかの４つはすべて切頂八面体を基本形とし，それから遷移した図形であると考えることができる．
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【４】安定な空間分割
ここではまず正多角形による平面分割の問題を掲げる．平面充填形が正三角形，正方形，正六角形の３種類に限ることは昔からよく知られているが，このうち正方形のは碁盤，正六角形のは蜂の巣などでおなじみであろう．しかし，正三角形と正方形による平面分割は頂点だけで接している多角形があるので，ボロノイ分割に対して安定とはいえない．点のわずかな動きによって，ボロノイ分割が激変してしまうからである．したがって，ボロノイ分割の意味で安定なものは六角形による平面充填だけということになる．
それでは３次元ではどうだろうか？ １点に４個の多面体が会し，１本の線の周りに３個の多面体が合するというのが空間分割の局所条件である．多数のピンポン玉を型に詰め込んでおいて，それをぎゅっとつぶすという過程を考えてみても空間は多面体によって分割される．その際にも１点に４個の多面体が会し，１本の線の周りに３個の多面体が合する．逆にいえば，１本の辺は３個の多面体に共有され，１個の頂点は４個の多面体に共有される．これは生物であろうと無生物であろうとに関わりなく，すべて構造物について例外なく通用する物理学的な過程である．
空間分割の局所条件は，１つの細胞のある方向の移動を他の３つの細胞が支持して止めるというメカニズムの表れと理解することができる．すなわち，このことは安定な力学的平衡が得られるための条件であることは直観的にも明らかであろう．そこで，平行多面体の場合について空間分割の局所条件を安定な空間分割という観点から考えてみることにしたい．
立方体は単独で空間全体を格子状に埋めつくすことができる．このことはこれ以上説明するまでもないだろう．立方格子状配置，すなわち角砂糖の箱の封を切ったときに見えるパターンでは１頂点に集まる多面体の数は８個になり，空間分割の局所条件は満足されない．立方格子を作るような形の積み上げでは１つの細胞の格子線方向の移動は他の１つの細胞が支持して止めるので，ある方向に力を加えた場合に全体が変形する可能性をもっていて，力学的に不安定なのである．
立方体以外の単一多面体による空間分割（空間充填体）としては，菱形十二面体や切頂八面体がよく知られている．両者はしばしば対比され，どちらも単独で空間充填可能な立体図形であるが，菱形十二面体が面心立方格子のボロノイ図であるのに対して，切頂八面体は体心立方格子のボロノイ図となっている．
菱形十二面体の頂点には３価の頂点と４価の頂点の２種類ある．３価の頂点の周りには４つの立体が出会い安定であるが，４価の頂点の周りには６つの立体が出会うため不安定となる．六角柱，長菱形十二面体の場合も同様に考えることができる．
切頂八面体はすべての頂点に３つの辺が集まる単純多面体である．そのため，切頂八面体が空間を合同な部分に分割する際，どの頂点でも４つの切頂八面体が出会うようになっていて，安定な空間充填多面体となる（3D honeycomb structure）．すなわち，１点に４個の多面体が会してボロノイ分割に対して安定なものは切頂八面体だけなのであるが，立方体や菱形十二面体は切頂八面体の辺を点に縮めることによって得られるので，頂点や辺だけで接している多面体を生じるというわけである．
ここで１４面体が得られる理由についてもう一度考えてみると，１４面体は安定な空間分割（熱力学の第２法則？）から必然的に決定されるのであって，図形の性質というよりは容れ物（空間）の性質といってもよいであろう．
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【５】５角形面をもつ空間分割
金属ガラスの構造で最も多い面の数はｆ＝１４（〜３５％），ついでｆ＝１５（〜２５％）とｆ＝１３（〜２０％），面の形ではｐ＝５（〜４０％），次がｐ＝６（〜３０％），ｐ＝４（〜２０％）と続く．面の数の平均値はおよそｆ＝１３．６，面あたりの辺の数の平均値はおよそｐ＝５．１２であるという．
空間分割では面は多かれ少なかれ曲面となるのが通例であるから，多面体は面が曲面であっても辺が曲線であってもかまわないという前提をおいて考えてみよう．分割された空間から１個の多面体を分離して考えてみると，１個の頂点に３本の辺が集まり，１辺は２個の頂点を結ぶから２ｅ＝３ｖ．また，オイラーの多面体定理ｖ−ｅ＋ｆ＝２により，
ｖ＝２（ｆ−２），ｅ＝３（ｆ−２）
つまり，面の数ｆが与えられれば頂点の数ｖと辺の数ｅは一義に決まり，頂点の数は必ず偶数になることがわかる．そこで，ｆ＝１４なる多面体について調べてみると
ｖ＝２（ｆ−２）＝２４，ｅ＝３（ｆ−２）＝３６
つぎに，面が何角形になるかを求めてみると，これはもちろん１通りではないが，１本の辺は２個の面によって共有されることを考慮し，各頂点に平均してｐ角形がｑ面が会するとすると，ｐｆ＝２ｅ，ｑｖ＝２ｅより，その平均辺数ｐと平均会合面数ｑは
ｐ＝２ｅ／ｆ＝５．１４・・・，ｑ＝２ｅ／ｖ＝３
を得ることができる．このことから，１４面体の面のかたちについては，必然的に辺数５を中心とする分布をなすことが示唆される．このことは，経験的に５角形の頻度が最も高い（pentagon-enriched space division）という観察結果に一致しているのである．
［a］ケルビンの１４面体（４^6６^8）
［b］ウィリアムズの１４面体（４^2５^8６^4）
［c］ウィア・フェランの極小曲面（５^12＋５^12６^2）
［d］クラスレート水和物（５^12＋５^12６^4，５^12＋４^3５^6６^3＋５^12６^8）
このような例からも，等積空間充填多面体では５角形の頻度が最も高いと事実を窺い知ることができるだろう．それに対して，切頂八面体を含むケルビンの１４面体はまったく５角形面をもたない．１４面体の面のかたちについては，オイラーの多面体定理より必然的に辺数５を中心とする分布をなすことが計算されるのだが，どうして５角形の頻度が高くなるのだろうか？ 理由はシンプルであると考えられる．すべての面が六角形であるような多面体は存在しない．蜂の巣状六角形タイル貼りに五角形タイルを１つ入れるとその部分が盛り上がった曲面となる．五角形タイルの数を増やしていって１２枚になったところで閉じた多面体となる．すなわち，６角形面を５角形面に変換することは平面構造から球面構造への変換に繋がる．表面積は小さく体積は大きくというわけであるが，真空中ではともかく，水中の空間分割では丸くなることが重要な物理的要請になっていると考えられる．
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