［１］Σ1/n^2(2n,n)=π^2/18

　まず，Σ1/n^2(2n,n)が第０項から始まるように，パラメータをずらすことにする．

　　Σ1/(n+1)^2(2(n+1),n+1)=Σ(n+1)!(n+1)!/(n+1)^2(2n+2)!

　この級数の項比は

　　ａn+1ｘn+1/ａnｘn=(n+1)^3/4(n+2)(n+3/2)*x/(n+1)

であるから，

　　Σ1/(n+1)^2(2(n+1),n+1)=ａ0*3Ｆ2(1,1,1;3/2,2;1/4)

また，ａ0=1/2より

　　Σ1/(n+1)^2(2(n+1),n+1)=1/2*3Ｆ2(1,1,1;3/2,2;1/4)

これより，級数Σ1/n^2(2n,n)は超幾何級数であると同定される．

ここで，参考文献にある公式を活用しよう．

　　3Ｆ2(2a,2b,a+b:2a+2b,a+b+1/2;x)={2Ｆ1(a,b;a+b+1/2;x^2)}

において，a=1/2,b=1/2とすることにより

　　3Ｆ2(1,1,1;3/2,2;x^2)={2Ｆ1(1/2,1/2;3/2;x^2)}^2

2Ｆ1はガウス型超幾何関数であって，

　　2Ｆ1(1/2,1/2;3/2;x^2)=arcsin(x)/x

　これより，1/2*{arcsin(x)/x}^2にx=1/2を代入することによって

　　Σ1/n^2(2n,n)=π^2/18

が得られる．

　　Σ(2-√3)^n/n^2(2n,n)

の場合の同様の計算は，

　　Σ(2-√3)^(n+1)/(n+1)^2(2(n+1),n+1)

　　=(2-√3)/2*3Ｆ2(1,1,1;3/2,2;(√6-√2)/4)

　　=π^2/72

　交代級数

　　Σ(-1)^(n-1)/n^2(2n,n)

の場合は，

　　Σ(-1)^n/(n+1)^2(2(n+1),n+1)=1/2*3Ｆ2(1,1,1;3/2,2;-1/4)

　　2Ｆ1(1/2,1/2;3/2;-x^2)=arcsinh(x)/x

であって，

　　Σ(-1)^(n-1)/n^2(2n,n)=2*{arcsinh(1/2)}^2

となる．

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