［Ｑ］Σ１／ｋ２^k

［Ｑ］Σ１／ｋ^2２^k

に対応する超幾何関数を予測することはできないだろうか？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　海野啓明先生（仙台高専）に教えていただいたのであるが，

　　ｆ（ｘ）＝Σ（ｘ／２）^k＝１／（１−ｘ／２）−１

＝２／（２−ｘ）−１，｜ｘ｜＜２

　積分すると

　　Ｆ（ｘ）＝Σ（ｘ／２）^k／ｋ＝ｌｏｇ２−ｌｏｇ（２−ｘ）

さらに，

　　∫(0,x)｛ｌｏｇ２−ｌｏｇ（２−ｔ）｝／ｔｄｔ＝Σ（ｘ／２）^k／ｋ^2

　　∫(x,2)｛ｌｏｇ２−ｌｏｇ（２−ｔ）｝／ｔｄｔ＝π^2／６−Σ（ｘ／２）^k／ｋ^2

　部分積分より，級数展開

Σ１／ｋ２^k＝ｌｏｇ２

Σ１／ｋ^2２^k＝π^2／１２−１／２・（ｌｏｇ２）^2

が得られるという．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［補］

　　１／（１−ｚ）＝１＋ｚ＋ｚ^2＋・・・

この導関数と積分は

　　１／（１−ｚ）^2＝１＋２ｚ＋３ｚ^2＋・・・

　　ｌｎ（１／（１−ｚ））＝ｚ＋ｚ^2／２＋ｚ^3／３＋・・・

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝