今回のコラムでは，

　　［参］志賀弘典「数学の視界」数学書房

から，ディオファントス方程式における定理をいくつかピックアップしてみました．

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【１】フェルマーの主張（その１）

　整数解を要求する２変数１次方程式ａｘ＋ｂｙ＝ｃ，２変数２次方程式ａｘ^2＋ｂｙ^2＝ｃ（ａ，ｂ，ｃは整数）などは，ギリシャのディオファントスにちなんでディオファントスの不定方程式と呼ばれます．

　たとえば，ｙ^2＝ｘ^3−２の整数解について，ディオファントスはｙ＝ｔ＋１，ｘ＝ｔ−１とおき，ｙ^2＝ｘ^3−２に代入するとｔ^2＋２ｔ＋１＝ｔ^3−３ｔ^2＋３ｔ−３．この式はｔ（ｔ^2＋１）＝４（ｔ^2＋１）と変形できるので，ｔ＝４すなわちｙ＝５，ｘ＝３が解であるとしています．

　しかし，端的にいって，このような解き方にはアート（技巧）はあってもセオリー（一般的理論）がなく，勘や経験や個々の問題の性質に負っていて，決定打ではありません．問題はこの型の不定方程式に対するすべての整数解，あるいは有理数解を求めることですが，フェルマーは方程式ｙ^2＝ｘ^3−２は（ｘ，ｙ）＝（３，±５）以外に整数解をもたないということを主張しています．

　これについては２次体Ｑ（√２）における整数の素因数分解から導かれますが，次に述べるジーゲルの定理の１例となっています．

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【２】ジーゲルの定理（１９２９年）

　「整数係数の楕円曲線上には整数解が有限個しかない．」

　これを証明したのはジーゲルで，その定理はジーゲルの有限性定理（１９２９年）と呼ばれています．したがって，３次曲線ａｘ^3＋ｂｙ^3＝ｃや楕円曲線ｙ^2＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄなど，３次以上の不定方程式には一般に整数解が有限個しかないことになります．この定理により，すべての２変数多項式の可解性が決定したわけではありませんが，少なくとも２変数２次多項式の可解性条件はわかったことになります．

　なお，楕円曲線ｙ^2＝ｘ^3−ｘ＋９上には±（０，３），±（１，３），±（１，−３），±（９，２７），±（３５，２０７），±（３７，２２５），±（４６５８４，１００５４３７７）および無限遠点の計１５個もの整数点が見つかるとのことです．

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【３】モーデル・ファルティングスの定理（１９８３年）

　１９２０年，イギリスの数学者モーデルは

　　ａｘ^4＋ｂｘ^3ｚ＋ｃｚ^2ｙ^2＋ｄｘ^3ｙ＋ｃｙ^4＝０

のように３変数４次不定方程式には整数解が有限個しかない，さらに４次以上何次になってもそうであろうと予想しました（モーデル予想）．

　変数を複素数の範囲で考えると，楕円曲線ｙ^2＝ｘ^3−ｘ＋９はトーラス，ｘ^4＋ｙ^4−１＝０は３重トーラスになるのですが，浮輪の穴の数によって方程式の解の様子が変化していくことをモーデルは予想したのです．

　モーデル予想は５０年以上にわたって未解決であったのですが，１９８３年，ドイツの数学者ファルティングスがこの予想を解決しました．

　「種数が２以上の代数曲線（超楕円曲線）は有理点を有限個しかもたない．」

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【４】フェルマーの主張（その２）

　フェルマーの最終定理『ｘ^n＋ｙ^n＝ｚ^nでｎ≧３のとき，ｘ，ｙ，ｚは正の整数解をもたない．』を解くことは，２変数ｎ次多項式ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ^n＋ｙ^n−１＝０に，有理数解があるか，すなわち有理点をもつかどうかを考える問題に対応します．

　モーデル・ファルティングスの定理によってフェルマーの方程式に解があるとすれば高々有限個しか解がないことはわかりましが，１つもないかどうかはわかりません．しかしながら，モーデル・ファルティングスの定理より，有理点が無数にあるような曲線は種数が０か１ということになり，直線（種数０）か，円錐曲線（種数０）か，楕円曲線（種数１）に限られてきます．

　また，リーマン・フルヴィッツの公式より，フェルマー曲線ｘ^n＋ｙ^n＝１は種数が（ｎ−１）（ｎ−２）／２で，これはｎ＝３のとき１ですが，ｎ≧４のときは２以上となりますから，そこでフェルマーの予想を征するために必要となるのが楕円曲線であったというわけです．

　こうして，１９７０年代，フェルマーの問題を征するために必要となるのが楕円曲線であることが明らかになりました．楕円曲線には，楕円曲線と三点で交わる直線で，そのうちの二つの交点の座標がわかれば他の一点の座標も計算でき，二つの点の座標が有理数ならば，他の一点の座標も有理数であるなどの性質をもっています．

　ａ^p＋ｂ^p＝ｃ^pを満たすような楕円曲線：

　　ｙ^2＝ｘ（ｘ＋ａ^p）（ｘ−ｂ^p）

が保型関数によってパラメトライズできないことの証明がフェルマーの最終定理の証明に繋がるのですが，これ以上はかなりこみいった話になるので追求しないでおきましょう．（楕円曲線の有理点の有無ではなく，楕円曲線そのものが存在しないことを示すのである．）

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【５】オイラー予想とその反例

　オイラーは，フェルマー予想の条件をゆるめて一般化した問題

『ｘ1^n＋ｘ2^n＋・・・＋ｘn-1^n＝ｘn^n，たとえば，ｘ^4＋ｙ^4＋ｚ^4＝ｗ^4にも自然数解がない』と予想しました．この不定方程式には整数解がないであろうことが長い間予想されていて，モーデルはコンピュータを使ってｗ＜２２００００の範囲でこの問題は成立することを紹介しています．

　オイラーの予想は正しいと信じられてきましたが，オイラーの推測からおよそ２００年後，コンピュータを使って

２７^5＋８４^5＋１１０^5＋１３３^5＝１４４^5 　（１９６６年）

９５８００^4＋２１７５１９^4＋４１４５６０^4＝４２２４８１^4 　（１９８８年）

２６８２４４０^4＋１５３６５６３９^4＋１８７９６７６０^4＝２０６１５０７３^4 　（１９８８年）

などのオイラー予想に対する反例が発見されました．

　反例が現れる網を絞り込んで，最後にコンピュータを使ってこの例を仕留めたのです．さらに，エルキースにより，ｘ^4＋ｙ^4＋ｚ^4＝ｗ^4には無数の解があることが楕円曲線の理論に基づいて示されました（１９８８年）．

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