１／１−１／２＋１／３−１／４＋１／５−１／６＋・・・

は調和級数の交代級数で，この値は対数関数のマクローリン展開

　　ｌｏｇ（１＋ｘ）＝ｘ−ｘ^2／２＋ｘ^3／３−ｘ^4／４＋・・・

によりｌｏｇ２に収束することがわかります．

　　Σ（−１）^n-1 ・１／ｎ＝ｌｏｇ２

メルカトールの定数とかグレゴリーの定数と呼ばれます．

　ここでの問題は

Σ１／ｋ２^k＝ｌｏｇ２

Σ１／ｋ^2２^k＝π^2／１２−１／２・（ｌｏｇ２）^2

を求めることですが，

Σｋ／２^k，Σｋ^2／２^k

と同じ方法で求められそうにありません．そこで超幾何関数に変換してみることにします．

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　超幾何関数は一般化することが可能でp個の上部パラメータとq個の下部パラメータを有する超幾何関数は

　pFq(a1,a2,･･･,ap;b1,b2,･･･,bq;x)と表されます．

ａn+1ｘn+1/ａnｘn=(n+a1)(n+a2)･･･(n+ap)/(n+b1)(n+b2)･･･(n+bq)x/(n+1)

したがって，超幾何関数は項比が有理関数

ａn+1ｘ^n+1/ａnｘ^n=p(n)/q(n)x/(n+1)

であるような級数にほかなりません

　たとえば，級数

Σ1/n^4(2n,n)は漸化式

(2n,n)=2n!/n!n!=2(2n-1)/n(2(n-1),n-1)より

n^4(2n,n)=2(2n-1)n^3(2(n-1),n-1)

=2(2n-1)n^3/(n-1)4*(n-1)^4(2(n-1),n-1)

なる漸化式が得られます．

ここで，Σ1/n^4(2n,n)が第０項から始まるようにパラメータをずらします．

Σ1/(n+1)^4(2(n+1),n+1)

この級数の項比は

ａn+1ｘ^n+1/ａnｘ^n=(n+1)^5/2(2n+3)(n+2)^2*x/(n+1)

ですから，

Σ1/(n+1)^4(2(n+1),n+1)=a05F4(1,1,1,1,1|1/4)

(3/2,2,2,2| )

また，ａ0=1/2より

Σ1/(n+1)4(2(n+1),n+1)=1/25F4(1,1,1,1,1|1/4)

(3/2,2,2,2| )

これより級数Σ1/n^4(2n,n)は超幾何級数であると同定されます．

また，ゼータ関数は

ζ（ｓ）＝Σ1/(n+1)^sより

ａn+1ｘn+1/ａnｘn=(n+1)^(s+1)/(n+2)^s*x/(n+1),a0=1

したがって，

ζ（ｓ）＝s+1Fs(1,1,･･･,1,1|1)

(2,2,･･･,2 | )

と表されます．指数関数，対数関数，三角関数，２項関数，ベッセル関数，直交多項式列，不完全ガンマ関数，指数積分，ガウスの誤差関数なども超幾何級数であって，超幾何関数は一般に収束半径１をもちます．

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