整数の問題と幾何学の問題は互いに密接に関係している．現代数学においては，幾何学に代数の構造を入れる．たとえば，楕円曲線にはアーベル群の構造が入り，その上で演算を定義して，代数の構造を手がかりに楕円曲線を研究することになる．
そして，同値な図形が同じ値をもつ不変量を定義することによって，構造を同一視することができる．逆に，ある幾何学的対象が同値でないことの証明は，問題の図形の不変量が異なっていることを示すことにより達成される．
３次曲線のｊ-不変量はそのひとつの例であり，射影変換によって互いに写り合う３次曲線は同型とみなされるのである．
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【１】群の例
群とは集合に演算を入れたものです．６つの有理関数
ｆ1(x)=ｘ，ｆ2(x)=１−ｘ，ｆ3(x)=１／ｘ，ｆ4(x)=１／（１−ｘ），
ｆ5(x)=（ｘ−１）／ｘ，ｆ6(x)=ｘ／（ｘ−１）
を考えます（ｘ≠０，１）．２つの関数の合成，たとえば，
ｆ2・ｆ3(x)=ｆ2（ｆ3(x)）=１−１／ｘ=（ｘ−１）／ｘ=ｆ5(x)
ですから，ｆ2・ｆ3＝ｆ5とします．
すると，この６つの関数は群となります．
｜ ｆ1 ｆ2 ｆ3 ｆ4 ｆ5 ｆ6
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
ｆ1 ｜ ｆ1 ｆ2 ｆ3 ｆ4 ｆ5 ｆ6
ｆ2 ｜ ｆ2 ｆ1 ｆ5 ｆ6 ｆ3 ｆ4
ｆ3 ｜ ｆ3 ｆ4 ｆ1 ｆ2 ｆ6 ｆ5
ｆ4 ｜ ｆ4 ｆ3 ｆ6 ｆ5 ｆ1 ｆ2
ｆ5 ｜ ｆ5 ｆ6 ｆ2 ｆ1 ｆ4 ｆ3
ｆ6 ｜ ｆ6 ｆ5 ｆ4 ｆ3 ｆ2 ｆ1
なお，位数がｎの有限体はｎが素数と素数の累乗の場合だけに限られます．すなわち，位数が２，４，８，１６，３２，・・・の有限体，３，９，２７，８１，２４３，・・・の有限体はあるのですが，６や１５の有限体はないのです．
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【２】３次曲線の射影変換
３次曲線は，射影変換を用いれば次のいずれかに変換されます．
(1)ｙ^2＝ｘ^3
(2)ｙ^2＝ｘ^2（ｘ−１）
(3)ｙ^2＝ｘ（ｘ−１）（ｘ−λ） λ≠０，１
(1)は「く」の字型曲線で原点で尖点をもちます．(2)は「の」の字型曲線で原点を通ったところでループを描いて自分自身と交差しますから，原点が２重点となります．(3)はループと弓形曲線の２つに分離します．すなわち，(1)(2)は特異点をもち，(3)は非特異です．したがって，滑らかな非特異３次曲線は(3)の形に表せます．これらは特異点による分類といってもよいのですが，射影変換によって互いに写り合う３次曲線は同型とみなされます．
（証）３次曲線とはｆ（ｘ，ｙ）＝０が２変数ｘ，ｙの３次あるいは３次以下の方程式で与えられた曲線
ａ1ｘ^3＋ａ2ｙ^3＋ａ3ｘｙ^2＋ａ4ｘ^2ｙ＋ａ5ｘ^2＋ａ6ｙ^2＋ａ7ｘｙ＋ａｘ8＋ａ9ｙ＋ａ10＝０
で，一般式の項数は１０になります．
３次以上の曲線を実数の範囲で考察するのは大変厄介であり，ｘ，ｙを複素数で考察すると理論が単純化されます．そこで，変数を複素数の範囲で考えると，Ｃ上７個の関数１，ｆ，ｇ，ｆ^2，ｆｇ，ｆ^3，ｇ^2は１次従属ですから，ある複素数の組（ａ0，・・・，ａ6）が存在して，
ａ0ｇ^2＋ａ1ｆ^3＋ａ2ｆｇ＋ａ3ｆ^2＋ａ4ｇ＋ａ5ｆ＋ａ6＝０
を満たします．ここで，ａ0＝１としてよく，楕円曲線はＣ^2上の３次曲線
ｙ^2＋ａ2ｘｙ＋ａ4ｙ＝−ａ1ｘ^3−ａ3ｘ2−ａ5ｘ−ａ6
の射影化と同型です．
これをもう少し簡単な形に変形すると
ｙ^2＋ａ2ｘｙ＋ａ4ｙ＝（ｙ＋ａ2ｘ／２＋ａ4／２）^2−ａ2^2ｘ^2／４−ａ2ａ4ｘ／２−ａ4^2／４
ｙ1＝ｙ＋ａ2ｘ／２＋ａ4／２ｘ，ｘ1＝ｘ3√（−ａ1）
と１次変換すれば
ｙ1^2＝ｘ1^3＋ｂ1ｘ1^2＋ｂ2ｘ1＋ｂ3＝（ｘ1−α1）（ｘ2−α2）（ｘ3−α3）
ここで，Ｃ上の２点α1，α2を０，１に変換する１次変換とｙ1の定数倍により，ｙ^2＝ｘ（ｘ−１）（ｘ−λ）という形に変形できます．
［参］安藤哲哉「代数曲線・代数曲面入門」数学書房
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【３】３次曲線のｊ-不変量
非特異３次曲線の標準型：
ｙ^2＝ｘ（ｘ−１）（ｘ−λ）
のｊ-不変量は
ｊ＝２^8（λ^2−λ＋１）^3／λ^2（λ−１）^2
によって定義されます．λ＝−１のときｊ＝１７２８，λ＝−ζ6（１の６乗根）のときｊ＝０となります．
ｊｰ不変量はモジュラー不変量とも呼ばれ，
ｊ（λ）＝ｊ（１−λ）＝ｊ（１／λ）
＝ｊ（１−１／λ）＝ｊ（１／（１−λ））＝ｊ（λ／（１−λ））
ですから，４個の点｛０，１，λ，∞｝の入れ替えに依存しないinvariantで，最も単純で重要な保型関数と考えられます．
複比を
λ＝｛（λ0−λ2）／（λ1−λ2）｝／｛（λ0−λ3）／（λ1−λ3）｝
によって定義すると，λiの順序を変えるとλの値は変わります．すなわち，｛λ0，λ1，λ2，λ3｝からつくられる複比の値は，
λ，１−λ，１／（１−λ），１／λ，λ／（λ−１），（λ−１）／λ
の６つのどれかに移ります．｛λ0，λ1，λ2，λ3｝の６つの対に対して計算すればこのことは容易に確かめられます．→［１］参照
この順序による曖昧さを消すために，λの６つの分数変換の不変式をとって，
ｊ＝２^8（λ^2−λ＋１）^3／λ^2（λ−１）^2
とおくのです．複比は一次分数変換で不変であり，ｊもまた射影変換で不変です．（直線上の４点の複比は射影によって不変である）
なお，
ｊ（λ）＝ｊ（１−λ）＝ｊ（１／λ）
が成り立てば，あとの等式はこの２つから導かれますから，有理関数
（λ^2−λ＋１）^3／λ^2（λ−１）^2
が本質的であって，係数２^8には本質的な意味はありません（係数２^8は正標数の楕円曲線を扱うためについている）．
実際，
（ｘ^2−ｘ＋１）^3／ｘ^2（ｘ−１）^2＝（λ^2−λ＋１）^3／λ^2（λ−１）^2
と，変数ｘの方程式を考えると，
λ^2（λ−１）^2（ｘ^2−ｘ＋１）^3−（λ^2−λ＋１）^3ｘ^2（ｘ−１）^2＝０
はλ≠０，１より，６次方程式となり，
λ，１−λ，１／（１−λ），１／λ，λ／（λ−１），（λ−１）／λ
のどれを代入しても成り立ちます．重複が生ずるのは
λ^2−λ＋１＝０，λ＝１／２，λ＝−１，λ＝２
の場合に限ります．３点０，１，λを置換する恒等写像でない変換は
λ^2−λ＋１＝０，λ＝１／２，λ＝−１，λ＝２
の場合以外には存在しません．
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【４】ワイエルシュトラスの標準形
ｙ＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄという方程式で定まる曲線はおなじみの３次曲線ですが，ｙのところがｙ^2に変わるとワイエルシュトラスの楕円曲線：
ｙ^2＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ
になります．ただし，ａ，ｂ，ｃ，ｄは有理数で，右辺の３次式は重根をもたないものと仮定します．楕円曲線をワイエルシュトラス形式に制限しても一般性を失いません．実際，どのような楕円曲線もワイエルシュトラス形式の楕円曲線に双有理的に同値だからです．
また，ｘ^2の項の係数はｘ’＝ｘ＋ｂ／３ａと変数変換（カルダノ変換）することによって簡単に消すことができますから，
ｙ^2＝ｘ^3＋ａｘ＋ｂ （４ａ^3＋２７ｂ^2≠０）
を楕円曲線と定義しても構いません．４ａ^3＋２７ｂ^2≠０は重根をもたないための条件です（判別式：Δ＝−（４ａ^3＋２７ｂ^2））．
ワイエルシュトラスの標準形：
ｙ^2＝ｘ^3＋ａｘ＋ｂ （２^2ａ^3＋３^3ｂ^2≠０）
のｊ-不変量を計算すると，
ｊ＝２^8・３^3ｂ^2／（２^2ａ^3＋３^3ｂ^2）
となります．ｊｰ不変量は，２つの楕円曲線が同じｊｰ不変量をもつかどうかなど，３次曲線を分類する（見分ける）ための指標になっているのです．
なお，ｊは射影変換不変量であるばかりでなく，双有理変換不変量です（サーモンの定理）．
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【５】補足
［１］ワイエルシュトラスの標準形
ｙ^2＝ｘ（ｘ−１）（ｘ−λ）
はｘを１次変換しｙを定数倍すると
ｙ^2＝４ｘ^3−ｇ2ｘ−ｇ3
ｇ2＝3√４／３（λ^2−λ＋１）
ｇ3＝１／２７（λ＋１）（２λ^2−５λ＋２）
に変形できます．
ｙ^2＝４ｘ^3−ｇ2ｘ−ｇ3
ｊ＝１７２８ｇ2^3／（ｇ2^3−２７ｇ3^2）
をワイエルシュトラスの標準形といいます．ｇ2^3−２７ｇ3^2≠０は重根をもたないための条件です．
［２］ヘッセの標準形
非特異３次曲線は９個の変曲点をもつ．そのひとつを（０，１，０）とし，そこでの接線がｚ＝０となるように射影座標をとると，ワイエルシュトラスの標準形：
ｙ^2ｚ＝４ｘ^3−ｇ2ｘｚ^2−ｇ3ｚ^3
の形にできる．
さらに，９個の変曲点が
（−１，ω^i，０），（−１，０，ω^i），（０，−１，ω^i）
ωは１の虚数立方根，i=0,1,2
となるような射影座標をとると，ヘッセの標準形
ｘ^3＋ｙ^3＋ｚ^3−３λｘｙｚ＝０
に正規化することができる．
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【６】蛇足
（Ｑ）所与の数を６とする．与えられた数を２つの有理数の和に表し，その２数の積がｘ^3−ｘになるようにせよ．
（Ａ）ｙ（６−ｙ）＝ｘ^3−ｘが成り立つような有理数ｘ，ｙを求める．点（−１，０）はこのグラフ上にあるので，ｘ＝αｙ−１とおくと，
６ｙ−ｙ^2＝α^3ｙ^3−３α^2ｙ^2＋２αｙ
ｙ（α^3ｙ^2−（３α^2−１）ｙ＋（２α−６））＝０
この等式の１次の項が消えるようにα＝３とおくと，
２７ｙ^3−２６ｙ^2＝０ → ｙ＝２６／２７，ｘ＝１７／９
さらにこの点で接線を引く操作を繰り返すと新しい解がいくらでも得られる．
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
ｙ（６−ｙ）＝ｘ^3−ｘは変数変換ｗ＝ｙ＋３，ｘ＝−ｘによって，楕円曲線ｗ^2＝ｚ^3−ｚ＋９になる．Ｐ＝（ｚ，ｗ）＝（１，３），Ｑ＝（０，３）という２つの有理点（整数点）によって，すべての有理点がｍＰ＋ｎＱの形で与えられることがわかっている．上の手順は２Ｐ＝（−１７／９，−５５／２７）の計算に相当する．
なお，この楕円曲線上には±（０，３），±（１，３），±（１，−３），±（９，２７），±（３５，２０７），±（３７，２２５），±（４６５８４，１００５４３７７）および無限遠点の計１５個もの整数点が見つかるという．
［参］志賀弘典「数学の視界」数学書房
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