［Ｑ］正三角形の頂点を中心とする円弧を描き，ルーローの三角形を作る．ルーローの三角形は正方形の内転形である．その正方形の辺の中点を中心とする円弧を描き，ルーローの四角形を作る．ルーローの四角形は正五角形の擬内転形である．その正五角形の頂点を中心とする円弧を描き，ルーローの五角形を作る．ルーローの五角形は正六角形の内転形である・・・．ルーローの正多角形は外側にいくほど大きくなるが，無限に大きくなるか？

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［Ａ］

　正ｎ角形の高さをＨnで表すことにすると，

ｎが奇数のとき

　　Ｈn＝Ｒn（１＋ｃｏｓ（π／ｎ））＝ｒn（１＋１／ｃｏｓ（π／ｎ））　

ｎが偶数のとき

　　Ｈn＝２Ｒnｃｏｓ（π／ｎ）＝２ｒn

　また，偶数正ｎ角形に内接するルーローのｎ−１角形の正ｎ−１角形部分に関して

　　Ｈn＝２Ｒn-1ｃｏｓ（π／２（ｎ−１））

ルーローの偶数ｎ角形に擬外接する正ｎ＋１角形に関して

　　Ｈn+1＝２ｒn｛１＋（ｔａｎ（π／ｎ）／２）^2｝^1/2＋ｒnｔａｎ（π／ｎ）ｔａｎ（π／（ｎ＋１））

が成り立つ．

　したがって

(1) Ｈn＝２Ｒn-1ｃｏｓ（π／２（ｎ−１））

Ｈn-1＝Ｒn-1（１＋ｃｏｓ（π／ｎ））

→Ｈn／Ｈn-1＝２ｃｏｓ（π／２（ｎ−１））／（１＋ｃｏｓ（π／ｎ））

(2) Ｈn+1＝２ｒn｛１＋（ｔａｎ（π／ｎ）／２）^2｝^1/2＋ｒnｔａｎ（π／ｎ）ｔａｎ（π／（ｎ＋１））

Ｈn＝２ｒn

→Ｈn+1／Ｈn＝｛１＋（ｔａｎ（π／ｎ）／２）^2｝^1/2＋ｔａｎ（π／ｎ）ｔａｎ（π／（ｎ＋１））／２

　以上より，

　　Ｈn+1／Ｈn-1＝｛（４＋ｔａｎ^2（π／ｎ））^1/2＋ｔａｎ（π／ｎ）ｔａｎ（π／（ｎ＋１））｝ｃｏｓ（π／２（ｎ−１））／（１＋ｃｏｓ（π／ｎ））

　　Ｈn+1＝Ｈ3ΠＨi+1／Ｈi-1　　　(i=4,6,8,･･･,n)

　　ｎ→∞のとき，Ｈn+1／Ｈn-1→１

　［その７］の解は［その５］の解より小さくなることは前もって予測できるが，ΠＨi+1／Ｈi-1は３．００に収束した．［その５］同様，上限があって

　　ΠＨi+1／Ｈi-1→Ｈ3×３．００

すなわち，最初の三角形Ｈ3のおよそ３倍を超えることはできないのである．

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