三角数△n＝Σｋ＝ｎ（ｎ＋１）／２

　平方数□n＝Σ（２ｋ−１）＝ｎ^2

　後者はグノモンの組み合わせによって，幾何学的に表現されたのである．ここではグノモンを使わないで，三角数経由でこれを求めてみたい．

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　　１＋２＋・・・＋２ｎ＝ｎ（２ｎ＋１）

　　２＋４＋・・・＋２ｎ＝２（１＋２＋・・・＋ｎ）＝ｎ（ｎ＋１）

　したがって，

　　１＋３＋・・・＋２ｎ−１

＝｛１＋２＋・・・＋２ｎ｝−｛２＋４＋・・・＋２ｎ｝＝ｎ（２ｎ＋１）−ｎ（ｎ＋１）＝ｎ^2

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　　△n＋△n-1＝ｎ（ｎ＋１）／２＋ｎ（ｎ−１）／２＝ｎ^2＝□n

　　８△n＋１＝＝４ｎ（ｎ＋１）＋１＝（ｎ＋１）^2＝□n+1

なども幾何学的に証明することができる．

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