巡回多面体は単体的多面体であり，上限定理の右辺は，頂点数ｆ0のｎ次元巡回的多面体のｆjである．

［１］ｎが偶数のとき

　　ｆj≦Σ（ｆ0－ｋ，ｋ）（ｋ，ｊ＋１－ｋ）ｆ0／（ｆ0－ｋ）、ｋ＝１～［ｎ／２］

［２］ｎが奇数のとき

　　ｆj≦Σ（ｆ0－ｋ，ｋ＋１）（ｋ＋１，ｊ＋１－ｋ）（ｊ＋２）／（ｆ0－ｋ）、ｋ＝０～［（ｎ－１）／２］

　ｎ巡回多面体のファセット数は

ｎ＝２ｋのとき，ｆn-1＝ｆ0／（ｆ0－ｋ）・（ｆ0－ｋ，ｋ）

ｎ＝２ｋ＋１のとき，ｆn-1＝２（ｆ0－ｋ－１，ｋ）

であることを確かめてみたい．

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［１］ｎが偶数のとき

　　ｆn-1＝Σ（ｆ0－ｋ，ｋ）（ｋ，ｎ－ｋ）ｆ0／（ｆ0－ｋ）、ｋ＝１～［ｎ／２］

ｋ≧ｎ－ｋとなるのは，ｋ≧ｎ／２であるから

　　ｆn-1＝（ｆ0－ｎ／２，ｎ／２）ｆ0／（ｆ0－ｎ／２）

ｎ＝２ｋとおくと

　　ｆn-1＝ｆ0／（ｆ0－ｋ）・（ｆ0－ｋ，ｋ）　　　（ＯＫ）

［２］ｎが奇数のとき

　　ｆn-1＝Σ（ｆ0－ｋ，ｋ＋１）（ｋ＋１，ｎ－ｋ）（ｎ＋１）／（ｆ0－ｋ）、ｋ＝０～［（ｎ－１）／２］

ｋ＋１≧ｎ－ｋとなるのは，ｋ≧（ｎ－１）／２であるから

　　ｆn-1＝（ｆ0－（ｎ－１）／２，（ｎ－１）／２＋１）（ｎ＋１）／（ｆ0－（ｎ－１）／２）

ｎ＝２ｋ＋１とおくと，

　　ｆn-1＝（ｆ0－ｋ，ｋ＋１）（ｎ＋１）／（ｆ0－ｋ）

＝（ｎ＋１）（ｆ0－ｋ－１）！／（ｋ＋１）！（ｆ0－２ｋ－１）！

＝２（ｋ＋１）（ｆ0－ｋ－１）！／（ｋ＋１）！（ｆ0－２ｋ－１）！

＝２（ｆ0－ｋ－１）！／ｋ！（ｆ0－２ｋ－１）！

＝２（ｆ0－ｋ－１，ｋ）　　　（ＯＫ）

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