巡回多面体は単体的多面体であり，上限定理の右辺は，頂点数ｆ0のｎ次元巡回的多面体のｆjである．

［１］ｎが偶数のとき

　　ｆj≦Σ（ｆ0−ｋ，ｋ）（ｋ，ｊ＋１−ｋ）ｆ0／（ｆ0−ｋ）、ｋ＝１〜［ｎ／２］

［２］ｎが奇数のとき

　　ｆj≦Σ（ｆ0−ｋ，ｋ＋１）（ｋ＋１，ｊ＋１−ｋ）（ｊ＋２）／（ｆ0−ｋ）、ｋ＝０〜［（ｎ−１）／２］

　ｎ巡回多面体のファセット数は

ｎ＝２ｋのとき，ｆn-1＝ｆ0／（ｆ0−ｋ）・（ｆ0−ｋ，ｋ）

ｎ＝２ｋ＋１のとき，ｆn-1＝２（ｆ0−ｋ−１，ｋ）

であることを確かめてみたい．

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［１］ｎが偶数のとき

　　ｆn-1＝Σ（ｆ0−ｋ，ｋ）（ｋ，ｎ−ｋ）ｆ0／（ｆ0−ｋ）、ｋ＝１〜［ｎ／２］

ｋ≧ｎ−ｋとなるのは，ｋ≧ｎ／２であるから

　　ｆn-1＝（ｆ0−ｎ／２，ｎ／２）ｆ0／（ｆ0−ｎ／２）

ｎ＝２ｋとおくと

　　ｆn-1＝ｆ0／（ｆ0−ｋ）・（ｆ0−ｋ，ｋ）　　　（ＯＫ）

［２］ｎが奇数のとき

　　ｆn-1＝Σ（ｆ0−ｋ，ｋ＋１）（ｋ＋１，ｎ−ｋ）（ｎ＋１）／（ｆ0−ｋ）、ｋ＝０〜［（ｎ−１）／２］

ｋ＋１≧ｎ−ｋとなるのは，ｋ≧（ｎ−１）／２であるから

　　ｆn-1＝（ｆ0−（ｎ−１）／２，（ｎ−１）／２＋１）（ｎ＋１）／（ｆ0−（ｎ−１）／２）

ｎ＝２ｋ＋１とおくと，

　　ｆn-1＝（ｆ0−ｋ，ｋ＋１）（ｎ＋１）／（ｆ0−ｋ）

＝（ｎ＋１）（ｆ0−ｋ−１）！／（ｋ＋１）！（ｆ0−２ｋ−１）！

＝２（ｋ＋１）（ｆ0−ｋ−１）！／（ｋ＋１）！（ｆ0−２ｋ−１）！

＝２（ｆ0−ｋ−１）！／ｋ！（ｆ0−２ｋ−１）！

＝２（ｆ0−ｋ−１，ｋ）　　　（ＯＫ）

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