ｎ次単体的多面体に対しては，デーン・サマービル関係式

　　（−１）^(n-1)ｆk＝Σ(k,n-1)（−１）^j（ｊ＋１，ｋ＋１）ｆj

が成り立つ．

　ここでは，３次元の単体的多面体で正三角形だけからなる凸多面体について考えてみたい．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】デルタ多面体

　すべての面が正三角形で構成されている凸多面体をデルタ多面体といいます．デルタ多面体の面数は

　　ｆ＝４，６，８，１０，１２，１４，１６，２０

で全部で８種類あります．このうち，正４面体，正８面体，正２０面体は正多面体に，デルタ６面体（重三角錐），デルタ１０面体（重五角錘），デルタ１２面体，デルタ１４面体（三角柱の正方形面に四角錐を３個載せる），デルタ１６面体（四角反柱の正方形面に四角錐を２個載せる）はジョンソン立体にも分類されるのですが，デルタ多面体はそれらを含めて全部で８種類あり，面の総数が指定されれば面の配置は唯一に決定されます．逆にいうと，もし凸多面体の各面が正三角形ならば８つの多面体の中のどれかひとつであるということになります．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】デルタ多面体の構成

　オイラーの多面体定理は，８個の凸なデルタ多面体が存在することの証明の基礎にもなります．３次元凸多面体の頂点，辺，面の数をそれぞれｖ，ｅ，ｆとすると，

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２　　（オイラーの多面体定理）

が成り立ちます．これは３次元立体について，０次元の特性数であるｖ，１次元の特性数であるｅ，２次元の特性数であるｆの関係を述べたものと解釈され，最も美しい数学の１０大定理の１つに挙げられるものです．

　また，正則な多面体とはその面が正多角形で，どの頂点にも同じ数の面が集まっている凸多面体のことで，正多面体では

　　ｐｆ＝２ｅ，ｑｖ＝２ｅ

でしたが，正則とは限らない一般の多面体では

　　Σｐi＝ｐ1＋・・・＋ｐf＝２ｅ，

　　Σｑi＝ｑ1＋・・・＋ｑv＝２ｅ

となります．

　デルタ多面体では，ｐi＝３，３≦ｑi≦５ですから

　　３ｆ＝２ｅ　　　（ｆは偶数）

　　３ｖ≦２ｅ≦５ｖ

これをオイラーの多面体定理

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２

に代入すると

　　６≦ｅ≦３０

これより

　　４≦ｆ≦２０，（３≦ｖ≦２０）

が得られます．３ｆ＝２ｅよりｆは偶数ですから，４面体から２０面体までの偶数多面体がデルタ多面体の候補となります．

　このように下限・上限が求められるとそれを実際に構成する際に非常に有用となります．

　　　ｆ　　　　　　ｅ　　　　　　ｖ

　　　４　　　　　　６　　　　　　４

　　　６　　　　　　９　　　　　　５

　　　８　　　　　１２　　　　　　６

　　１０　　　　　１５　　　　　　７

　　１２　　　　　１８　　　　　　８

　　１４　　　　　２１　　　　　　９

　　１６　　　　　２４　　　　　１０

　　１８　　　　　２７　　　　　１１

　　２０　　　　　３０　　　　　１２

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝