Ａ6とＯ6は３次元の，Ｂ12は４次元の，Ｆ20は５次元の，Ｋ30は６次元の立方体とそれぞれ同等になります．また，Ｂ12の中には２つずつのＡ6とＯ6が，Ｆ20の中にはひとつのＢ12と３つずつのＡ6とＯ6が（いいかえればＦ20の中には５つずつのＡ6とＯ6が），Ｋ30の中にはひとつのＦ20と５つずつのＡ6とＯ6が（いいかえればＫ30の中には１０個ずつのＡ6とＯ6が）それぞれ入っていることになります．

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　２種類の黄金平行多面体を用いて，３次元を隙間なく埋める非周期的構造を作ることができるのですが，これらの菱面体の二面角は，

　　Ａ6＝ａ3（７２°）＋ａ1ｏ2（７２°＋１０８°）

　　Ｏ6＝ｏ3（１４４°）＋ａ2ｏ1（３６°＋１４４°）

です．

　この黄金平行多面体による充填図形の平面への投影はペンローズ・パターンと呼ばれる準周期性平面充填となります．すなわち，ペンローズのタイル貼りは，三次元空間を２種類の黄金菱面体で非周期的に埋めつくしたときの平面への投影図であり，５回対称性という物質の新しい状態を２次元的に模似したものになっています．

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［まとめ］とりあえずＯ6の６等分体ではＡ6はできませんが，さらに分割するとどうか？

　もし，菱形多面体の元素数が１になるというのであれば，１種類のタイルによる非周期的平面充填が可能ということになる．

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