このシリーズでは周期的４軸構造［１１１］型（構造体�T）に対応するのが空間充填１８面体であることを直接的に示してきたが，４軸構造は他にもある．（その３）に掲げた［１１１］型（構造体�U）がそれである．構造体�Uをもとにして空間充填多面体を設計したとしてもエンゲルの３８面体を越すことはないと思われるが，６軸構造よりも計算は簡単なはずである．

　　４軸構造（構造体�T）　　　周期的　　　等方的

　　４軸構造（構造体�U）　　　周期的　　　等方的

　　６軸構造［１１０型］　　　周期的　　非等方的

　　６軸構造［１τ０型］　　準周期的　　　等方的

　とはいっても１種類の多面体で済むかどうかはわからないし，凸多面体になるという保証もない．しかし，空間充填多面体を軸数で分類することは数学者が行っていない設計方法であり，同じ頂きに登るにしても登山ルートはいくらでもあるということを示すためにもやってみる価値はあると思う．

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【１】［１１１］型（構造体�U）の計量

　［１１１］型（構造体�T）の骨組みとなったのはねじれ重角錐Ｃであったが，構造体�Uの骨組みになる多面体を求めてみよう．　

　二面角１２０°は３つの多面体が合して１稜をつくる際の二面角であるが，マラルディの角（ｃｏｓθ＝−１／３，θ＝１０９．４７１°に対応する二面角でもある．菱形十二面体には平行な辺が４組あり，それが４軸を決定するのであるが，４軸構造（構造体�U）の場合もその中心にあるのは菱形十二面体（二面角１２０°）である．

　４方向を立方体の対角線の方向［１，１，１］，［−１，１，１］，［１，−１，１］，［１，１，−１］にとるのが４軸構造であり，ザクロ石の結晶は実際にこの構造をとる．空間充填１８面体の場合もその４軸はそれぞれ１０９．４７１°（７０．５２９°）をなしているのだが，４軸は交わらずにねじれの位置にある．

　そして，４軸構造にはトポロジカルに異なる構造が２種類あり，接触指数６^4（構造体�T）と３^4（構造体�U）の２タイプが存在することがわかっている．たとえば［１，１，１］を法線ベクトルとする平面（ｘ＋ｙ＋ｚ＝０）に投影したとき円柱が他の円柱と６点で接し，自己保持されているのが構造体�T，３点で接し固定されているのが構造体�Uである．

　このことから，構造体�Tでは菱形１２面体の３価の頂点を天地に配して，天の３面だけで決定できたのだが，構造体�Uでは菱形１２面体の３価の頂点を天地に配して，側面も考慮に入れる必要があることがわかる．なお，頂点と辺の３等分点を通る水平面で水平断する切断は菱形１２面体を菱形台形１２面体に変形させるときに用いられるものである．→コラム「ボロノイ細胞と平行多面体（その１７）」参照

［１］円柱の方向ベクトルを［１，１，１］方向にとり，

　　Ａ1＝［１，１，１］，Ａ2＝［−１，１，１］，Ａ3＝［１，−１，１］，Ａ4＝［１，１，−１］

とおく．以下，これを規格化した

　　Ａ1＝１／√３［１，１，１］

　　Ａ2＝１／√３［−１，１，１］

　　Ａ3＝１／√３［１，−１，１］

　　Ａ4＝１／√３［１，１，−１］

を方向ベクトルとして用いることにする．

［２］定点ベクトルＢiをＡiと直交するように選ぶ．たとえば，規格化した定点ベクトルは

　　Ｂ2＝１／√２［０，１，−１］，Ｂ3＝１／√２［−１，０，１］，Ｂ4＝１／√２［１，−１，０］

になる．ここでは，定点ベクトルの大きさをｄとして，

　　Ｂ2＝ｄ／√２［０，１，−１］

　　Ｂ3＝ｄ／√２［−１，０，１］

　　Ｂ4＝ｄ／√２［１，−１，０］

と定める．

　また，ＡiとＡjの両方に直交するベクトルＢij，その大きさをｄで定めると

　　Ｂ23＝ｄ／√２［１，１，０］

　　Ｂ34＝ｄ／√２［０，１，１］

　　Ｂ42＝ｄ／√２［１，０，１］

［３］２円柱Ｐi＝ｔＡi＋Ｂi，Ｐj＝ｔＡj＋Ｂjの双方に対して垂直な単位ベクトルｎijは

　　ｎij＝Ａi×Ａj／｜Ａi×Ａj｜＝１／√２（１，１，０）

さらに２円柱Ｐi，Ｐjの距離ｄijは

　　ｄij＝｜ｎij・（Ｂi−Ｂj）｜＝ｄ

と計算される．

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　円柱の中心軸ベクトルＰi＝ｔＡi＋Ｂiを求めると

　　Ｐ5＝ｓＡ1＋２Ｂ2＝［ｓ／√３，ｓ／√３＋ｄ√２，ｓ／√３−ｄ√２］

　　Ｐ6＝ｓＡ1＋２Ｂ3＝［ｓ／√３−ｄ√２，ｓ／√３，ｓ／√３＋ｄ√２］

　　Ｐ7＝ｓＡ1＋２Ｂ4＝［ｓ／√３＋ｄ√２，ｓ／√３−ｄ√２，ｓ／√３］

　　Ｐ8＝ｒＡ2−２Ｂ2＝［−ｒ／√３，ｒ／√３−ｄ√２，ｒ／√３＋ｄ√２］

　　Ｐ9＝ｒＡ4−２Ｂ4＝［ｒ／√３−ｄ√２，ｒ／√３＋ｄ√２，−ｒ／√３］

　　Ｐ10＝ｒＡ3−２Ｂ3＝［ｒ／√３＋ｄ√２，−ｒ／√３，ｒ／√３−ｄ√２］

このとき，

　　ｎ59＝Ａ1×Ａ4／｜Ａ1×Ａ4｜＝１／√２（−１，１，０）

　　ｄ59＝｜ｎ59・２（Ｂ2＋Ｂ4）｜＝ｄ

より，Ｐ5とＰ9は互いに接していることがわかる．

　　ｎ910＝Ａ4×Ａ3／｜Ａ4×Ａ3｜＝１／√２（０，−１，−１）

　　ｄ910＝｜ｎ910・２（Ｂ4−Ｂ3）｜＝２ｄ

よりＰ9とＰ10は接しないが，

　　Ｐ9＝［ｒ／√３−ｄ√２，ｒ／√３＋ｄ√２，−ｒ／√３］

　　Ｐ10＝［−ｒ／√３＋ｄ√２，ｒ／√３，−ｒ／√３−ｄ√２］

の距離ｄ910＝２ｄとおくと

　　ｒ＝√６ｄ

Ｐ2とＰ3の接点にはｔ＝ｄ√（３／２）が対応することは（その３）で述べたが，この値はその２倍である．

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次に，Ｐ3とＰ9が互いに接する条件から

　　ｎ39＝Ａ3×Ａ4／｜Ａ3×Ａ4｜＝１／√２（０，１，１）

　　ｄ39＝｜ｎ39・（Ｂ3＋２Ｂ4＋ｄ√（２７／８）Ａ1）｜＝ｄ

これより

　　Ｐ2＝ｔＡ2＋Ｂ2＋ｄ√（２７／８）Ａ1＝［−ｔ／√３＋３ｄ／２√２，ｔ／√３＋５ｄ／２√２，ｔ／√３＋ｄ／２√２］

　　Ｐ3＝ｔＡ3＋Ｂ3＋ｄ√（２７／８）Ａ1＝［ｔ／√３＋ｄ／２√２，−ｔ／√３＋３ｄ／２√２，ｔ／√３＋５ｄ／２√２］

　　Ｐ4＝ｔＡ4＋Ｂ4＋ｄ√（２７／８）Ａ1＝［ｔ／√３＋５ｄ／２√２，ｔ／√３＋ｄ／２√２，−ｔ／√３＋３ｄ／２√２］

と定まる．

　円柱Ｐ3，Ｐ9の接点は

　　Ｐ3＝ｔＡ3＋Ｂ3＋ｄ√（２７／８）Ａ1＝［ｔ／√３＋ｄ／２√２，−ｔ／√３＋３ｄ／２√２，ｔ／√３＋５ｄ／２√２］

　　Ｐ9＝［ｒ／√３−ｄ√２，ｒ／√３＋ｄ√２，−ｒ／√３］

の距離ｄ39＝ｄとおいて，

　　ｔ^2＋２ｔｒ／３＋ｒ^2＋ｄ（１１ｔ＋ｒ）／√６＋４３ｄ^2／８＝０

　この方程式の変数は２個あるが，平方和の形

　　（ｔ＋ｒ／３＋１１ｄ／２√６）^2＋８／９（ｒ−３ｄ／２√６）^2＝０

に整理されるから

　　ｒ＝ｄ√６／４，ｔ＝−ｄ√６

となる．この値もｔ＝ｄ√（３／２）の−２倍である．

　南半球

　　Ｐ11＝ｔＡ2＋Ｂ2−ｄ√（２７／８）Ａ1＝［−ｔ／√３−３ｄ／２√２，ｔ／√３−ｄ／２√２，ｔ／√３−５ｄ／２√２］

　　Ｐ12＝ｔＡ3＋Ｂ3−ｄ√（２７／８）Ａ1＝［ｔ／√３−５ｄ／２√２，−ｔ／√３−３ｄ／２√２，ｔ／√３−ｄ／２√２］

　　Ｐ13＝ｔＡ4＋Ｂ4−ｄ√（２７／８）Ａ1＝［ｔ／√３−ｄ／２√２，ｔ／√３−５ｄ／２√２，−ｔ／√３−３ｄ／２√２］

における円柱Ｐ11，Ｐ9の接点は

　　Ｐ11＝ｔＡ2＋Ｂ2−ｄ√（２７／８）Ａ1＝［−ｔ／√３−３ｄ／２√２，ｔ／√３−ｄ／２√２，ｔ／√３−５ｄ／２√２］

　　Ｐ9＝［ｒ／√３−ｄ√２，ｒ／√３＋ｄ√２，−ｒ／√３］

の距離ｄ119＝ｄとおいて，

　　ｔ^2＋２ｔｒ／３＋ｒ^2−ｄ（１１ｔ＋ｒ）／√６＋４３ｄ^2／８＝０

　　（ｔ＋ｒ／３−１１ｄ／２√６）^2＋８／９（ｒ＋３ｄ／２√６）^2＝０

に整理されるから

　　ｒ＝−ｄ√６／４，ｔ＝ｄ√６

となる．

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【２】頂点の座標

　Ｐ2からＰ4に対して，に対して，ｔs＝−ｄ√（３／２），ｔe＝ｄ√（３／２）として２端点に対応する空間座標を求めると

　　Ｐ2s＝ｄ／２√２［５，３，−１］

　　Ｐ2e＝ｄ／２√２［１，７，３］

　　Ｐ3s＝ｄ／２√２［−１，５，３］

　　Ｐ3e＝ｄ／２√２［３，１，７］

　　Ｐ4s＝ｄ／２√２［３，−１，５］

　　Ｐ4e＝ｄ／２√２［７，３，１］

となるが，

　　Ｂ23＝Ｐ2e−Ｐ3s

　　Ｂ34＝Ｐ3e−Ｐ4s

　　Ｂ42＝Ｐ4e−Ｐ2s

という関係があることはすでにわかっている．同様に，Ｐ11からＰ13に対して，ｔs＝−ｄ√（３／２），ｔe＝ｄ√（３／２）として２端点に対応する空間座標を求めると

　　Ｐ11s＝ｄ／２√２［−１，−３，−７］

　　Ｐ11e＝ｄ／２√２［−５，１，−３］

　　Ｐ12s＝ｄ／２√２［−７，−１，−３］

　　Ｐ12e＝ｄ／２√２［−３，−５，１］

　　Ｐ13s＝ｄ／２√２［−３，−７，−１］

　　Ｐ13e＝ｄ／２√２［１，−３，−５］

　Ｐ8からＰ10に対して，ｒs＝−ｄ√６，ｒe＝ｄ√６として２端点に対応する空間座標を求めると

　　Ｐ8s＝ｄ／√２［２，−４，０］

　　Ｐ8e＝ｄ／√２［−２，０，４］

　　Ｐ9s＝ｄ／√２［−４，０，２］

　　Ｐ9e＝ｄ／√２［０，４，−２］

　　Ｐ10s＝ｄ／√２［０，２，−４］

　　Ｐ10e＝ｄ／√２［４，−２，０］

　また，ＡiとＡjの両方に直交するベクトルＢij，その大きさをｄで定めると

　　Ｂ23＝ｄ／√２［１，１，０］

　　Ｂ34＝ｄ／√２［０，１，１］

　　Ｂ42＝ｄ／√２［１，０，１］

となるが，

　　Ｐ8e−Ｐ9s＝２ｄ／√２［１，０，１］＝２Ｂ42

　　Ｐ9e−Ｐ10s＝２ｄ／√２［０，１，１］＝２Ｂ34

　　Ｐ10e−Ｐ8s＝２ｄ／√２［１，１，０］＝２Ｂ23

という関係がある．

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　　Ｐ8からＰ10に対して，ｒn＝ｄ√６／４，ｔn＝−ｄ√６として２端点に対応する空間座標を求めると

　　Ｐ8n＝ｄ／２√２［−１，−３，５］

　　Ｐ9n＝ｄ／２√２［−３，５，−１］

　　Ｐ10n＝ｄ／２√２［５，−１，−３］

　　Ｐ2n＝ｄ／２√２［７，１，−３］

　　Ｐ3n＝ｄ／２√２［−３，７，１］

　　Ｐ4n＝ｄ／２√２［１，−３，７］

　　Ｐ2n−Ｐ10n＝ｄ／√２［１，１，０］＝Ｂ23

　　Ｐ3n−Ｐ9n＝ｄ／√２［０，１，１］＝Ｂ34

　　Ｐ4n−Ｐ8n＝ｄ／√２［１，０，１］＝Ｂ42

　　ｒw＝−ｄ√６／４，ｔw＝ｄ√６として２端点に対応する空間座標を求めると

　　Ｐ8w＝ｄ／２√２［１，−５，３］

　　Ｐ9w＝ｄ／２√２［−５，３，１］

　　Ｐ10w＝ｄ／２√２［３，１，−５］

　　Ｐ11w＝ｄ／２√２［−７，３，−１］

　　Ｐ12w＝ｄ／２√２［−１，−７，３］

　　Ｐ13w＝ｄ／２√２［３，−１，−７］

　　Ｐ13w−Ｐ10w＝ｄ／√２［０，−１，−１］＝−Ｂ34

　　Ｐ11w−Ｐ9w＝ｄ／√２［−１，０，−１］＝−Ｂ42

　　Ｐ12w−Ｐ8w＝ｄ／√２［−１，−１，０］＝−Ｂ23

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【３】雑感

　ここで，仮にｄ＝３０√２とおくと

　　Ｐ2s＝［７５，４５，−１５］

　　Ｐ2e＝［１５，１０５，４５］

　　Ｐ3s＝［−１５，７５，４５］

　　Ｐ3e＝［４５，１５，１０５］

　　Ｐ4s＝［４５，−１５，７５］

　　Ｐ4e＝［１０５，４５，１５］

　　Ｐ11s＝［−１５，−４５，−１０５］

　　Ｐ11e＝［−７５，１５，−４５］

　　Ｐ12s＝［−１０５，−１５，−４５］

　　Ｐ12e＝［−４５，−７５，１５］

　　Ｐ13s＝［−４５，−１０５，−１５］

　　Ｐ13e＝［１５，−４５，−７５］

　　Ｐ8s＝［６０，−１２０，０］

　　Ｐ8e＝［−６０，０，１２０］

　　Ｐ9s＝［−１２０，０，６０］

　　Ｐ9e＝［０，１２０，−６０］

　　Ｐ10s＝［０，６０，−１２０］

　　Ｐ10e＝［１２０，−６０，０］

　　Ｐ8n＝［−１５，−４５，７５］

　　Ｐ9n＝［−４５，７５，−１５］

　　Ｐ10n＝［７５，−１５，−４５］

　　Ｐ2n＝［１０５，１５，−４５］

　　Ｐ3n＝［−４５，１０５，１５］

　　Ｐ4n＝［１５，−４５，１０５］

　　Ｐ8w＝［１５，−７５，４５］

　　Ｐ9w＝［−７５，４５，１５］

　　Ｐ10w＝［４５，１５，−７５］

　　Ｐ11w＝［−１０５，４５，−１５］

　　Ｐ12w＝［−１５，−１０５，４５］

　　Ｐ13w＝［４５，−１５，−１０５］

　以上で代表的な頂点の座標は求まったが，多面体にすべく勝手に取った点をつないで線は引けても，面を構成するには相手を選んで線を引かねばならないし，逐次的に行くのも大変である．次回以降に再検討したい．

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