【１】菱形六面体の計量

　菱形の対角線の長さを２ｄと２，また，この菱形の鋭角が６０°より大きく９０°より小さいとすると，ｄの取りうる値は

　　１＜ｄ＜√３

の範囲にあります．

　６０°のとき菱形六面体の体積は最小となり，９０°（すなわち立方体）のとき最大となります．結晶学的な見方をすると６０°は面心立方格子，９０°は単純立方格子と関係しているというわけです．

　また，菱形の鋭角が３つ集まって構成される頂点を原点として，この菱面格子の３つの基本ベクトルを

　　ａ↑＝（ｄ，１，０）

　　ｂ↑＝（ｄ，−１，０）

　　ｃ↑＝（ｘ，０，ｚ），ｘ^2＋ｚ^2＝ｄ^2＋１

とおきます．

　このとき，菱形の面積，体積は

　　Ｓ＝２ｄ，Ｖ＝２ｄｚ

菱形の鋭角をθとおくと

　　ｔａｎ（θ／２）＝１／ｄ　→　θ＝２ａｒｃｔａｎ（１／ｄ）

で表されます（６０°＜θ＜９０°）．

　次に，ｘとｚをｄで表してみることにしましょう．

　　ａ↑・ｃ↑＝（ｄ^2＋１）ｃｏｓθ＝ｄｘ

より

　　ｘ＝（ｄ^2＋１）／ｄｃｏｓθ

　　　＝（ｄ^2＋１）／ｄｃｏｓ（２ａｒｃｔａｎ（１／ｄ））

　　　＝（ｄ^2−１）／ｄ

　　ｚ^2＝ｄ^2＋１−ｘ^2＝３−１／ｄ^2

　ベクトルｃ↑とｘ軸のなす角φは

　　ｃｏｓφ＝ｘ／（ｄ^2＋１）^(1/2)＝（ｄ^2−１）／ｄ（ｄ^2＋１）^(1/2)

で求められますが，このように菱形六面体の計量値はすべてパラメータｄを用いて表すことができます．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　菱面体の中心の座標は（ｄ＋ｘ／２，０，ｚ／２）ですから，８頂点のうち６つ

　　（ｄ，１，０），（ｄ，−１，０），（２ｄ，０，０）

　　（ｘ，０，ｚ），（ｄ＋ｘ，１，ｚ），（ｄ＋ｘ，−１，ｚ）

までの距離Ｒはすべて等しく

　　Ｒ^2＝（ｘ^2＋ｚ^2）／４＋１＝（ｄ^2＋１）／４＋１

と計算されます．すなわち，これらは半径Ｒの同心球面上に位置します．

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