菱形の鋭角（acute）ｍ個と鈍角（obtuse）ｎ個が集まる頂点をａmｏnで表すことにすると，菱形の鋭角と鈍角の和は

　　ａ＋ｏ＝１８０°

ですから，頂点に４つ以上の鈍角が集まることは不可能です．頂点に集まる角がすべて鈍角である場合はｑi＝３すなわちｏ3で，菱形の鈍角が１２０°より小さいことが必要になります．また，この菱形（鋭角が６０°より大きい）が頂点に集まる角がすべて鈍角である場合は最大１頂点に５枚ですから，ｑi＝４またはｑi＝５ということになります．

　さらにまた，鈍角と鋭角が混ざっている頂点がある多面体が菱形二十面体と菱形十二面体（第２種）なのですが，このような必要条件を満たす対象を広めに見積もると

　　ｐi＝４，３≦ｑi≦５

ですから

　　４ｆ＝２ｅ

　　３ｖ≦２ｅ≦５ｖ

これをオイラーの多面体定理

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２

に代入すると

　　ｅ≧１２，ｆ≧６

という下限が得られます．

　しかし，ｆ＝６は細い菱面六面体と太った菱面六面体ですから，これだけでは何の手がかりも得られていないことと同じです．そこで，もう少し数学的に考察して上方からの制限（ｆ≦３０，ｅ≦６０）を設けてみたいと思います．

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　ｏ＝１２０°（ａ＝６０°）の菱形では平面充填形となってしまいますから，ｏ3を有する菱形多面体の面は，正三角形を２個つなげた菱形（対角線の長さの比が１：√３）よりも太っていることが必要で，黄金比や１：√２の菱形などがその候補となるというわけです．

　また，この菱形（鋭角が６０°より大きい）が頂点に集まる角がすべて鋭角である場合は最大１頂点に５枚ですから，ａ3またはａ4またはａ5ということになります．また，鈍角と鋭角が混ざっている頂点がある場合，ａ＋ｏ＝１８０°ですから，ａ1ｏ1，ａ2ｏ2は存在し得ず，ａ3ｏ1，ａ2ｏ1，ａ1ｏ2のみが可能となります．実際には

　　扁長菱面体：ａ3＝２，ａ1ｏ2＝６

　　扁平菱面体：ａ2ｏ1＝６，ｏ3＝２

　　菱形十二面体：ａ4＝６，ｏ3＝８

　　菱形十二面体（第２種）：ａ4＝２，ａ3ｏ1＝４，ａ1ｏ2＝４，ｏ3＝４

　　菱形二十面体：ａ5＝２，ａ3ｏ1＝１０，ｏ3＝１０

　　菱形三十面体：ａ5＝１２，ｏ3＝２０

のように必要条件として，さらに

　　Σｍi＝Σｎi＝ｅ

を満たすような頂点が可能となります．

　以上をまとめると

　　ｑ＝３：ａ3，ａ2ｏ1，ａ1ｏ2，ｏ3

　　ｑ＝４：ａ4，ａ3ｏ1

　　ｑ＝５：ａ5

であり，ｑ＝６となる頂点は不可能です．

　また，ｏ3をもたない多面体ではある頂点に鋭角が３つ集まってａ3となるのですが，それは扁長菱面体のケースですから平均会合面数ｑmは最小（ｑm＝３）となり除外することができます．こうしてｑmが最大になるのはａ5とｏ3のみからなる菱形多面体の場合と考えられます．

　このとき，ａ5の頂点数をｘ，ｏ3の頂点数をｙとすると，

　　５ｘ＋３ｙ＝２ｅ

　　５ｘ＝ｅ，３ｙ＝ｅ

が成り立ちますから，

　　ｑm＝（５ｘ＋３ｙ）／（ｘ＋ｙ）

　　５ｘ＋３ｙ＝２ｅ，ｘ＝ｅ／５，ｙ＝ｅ／３

を代入すると

　　ｑm＝１５／４

　これより，

　　３≦ｑm≦１５／４＜４

となるのですが，

　　４ｆ＝２ｅ，ｑmｖ＝２ｅ

をオイラーの公式に代入すると

　　１２≦ｅ≦６０　→　６≦ｆ≦３０

となって，ｆの上限値が得られます．

　４ｆ＝２ｅよりｅは偶数ですが，さらに

　　５ｘ＝ｅ，３ｙ＝ｅ

よりｅは５の倍数かつ３の倍数ですから，ｆは１５の倍数であることがわかります．しかし，ｆ＝１５，３０，４５，６０，・・・と順に検討しなくても，ａ5とｏ3のみからなる菱形多面体は，オイラーの公式から直ちにｆ＝３０であることが導き出されます．

　以上のようにａ5とｏ3のみからなる菱形多面体に絞って考えると，ｆの上限：ｆ≦３０を簡単に求めることができるというわけです．

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