今回のコラムでもその後の杉岡幹生氏の結果を簡単に紹介したい．
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【１】Σ(1,∞)１／（２ｎ－１）^k（１＋（２ｎ－１）^2）
［参］加藤和也・黒川信重・斉藤毅「数論Ⅰ，Fermatの夢と類体論」岩波書店
によると
Σ(-∞,∞)１／（１＋ｎ^2）＝π／ｔａｎｈ（π）
Σ(-∞,∞)１／（１＋ｎ^2）^2＝π／２（ｅｘｐ（４π）＋４πｅｘｐ（２π）－１）／（ｅｘｐ（２π）－１）^2
の２つの公式は，
Σ(1,∞)１／ｎ^2＝π^2／６＝ζ(2)
Σ(1,∞)１／ｎ^4＝π^4／９０＝ζ(4)
のようにゼータ関数の値を直接表すものではないが，同様の世界に属していて，ζの香りが漂っているように思われるとコメントされている．
http://www5b.biglobe.ne.jp/~sugi_m/page175.htm
において，杉岡幹生氏は一般に
Σ(1,∞)１／ｎ^k（１＋ｎ^2）
はｋが偶数のとき明示的に求められるが，奇数のときは関数を閉じた形に表せないだろうと述べている．すなわち，ζの奇偶性に対応することを主張しているのである．
変数ｎを奇数だけにすると
Σ(1,∞)１／（２ｎ－１）^k（１＋（２ｎ－１）^2）は
となるが，
http://www5b.biglobe.ne.jp/~sugi_m/page183.htm
において，杉岡氏はｋ＝０の場合，２πを周期とする周期関数
f(x)=Σcos((2n-1)x)/(1+(2n-1)^2)
を考えると，
1/(1+(2n-1)^2)=1/π∫(-π,π)f(x)cos((2n-1)x)dx
これを部分積分すると
1/(1+(2n-1)^2)=1/π∫(-π,π)(Σ(2k-1)sin((2k-1)x)/(1+(2k-1)^2))sin((2n-1)x)/(2n-1)dx
これを縦に足し合わせると
Σ1/(1+(2n-1)^2)=1/π∫(-π,π)(Σ(2k-1)sin((2k-1)x)/(1+(2k-1)^2))Σsin((2n-1)x)/(2n-1)dx
ここで，フーリエ級数の公式
cosh(π/2-x)=4/πcosh(π/2)Σsin((2k-1)x)/(1+(2k-1)^2)
Σsin((2n-1)x)/(2n-1)=π/4
より，
Σ1/(1+(2n-1)^2)=π/4tanh(π/2)
と美しい式が得られた．
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同様のことをｋ＝１の場合について考える．２πを周期とする周期関数
f(x)=Σsin((2n-1)x)/(2n-1)(1+(2n-1)^2)
に対して
1/(2n-1)(1+(2n-1)^2)=1/π∫(-π,π)f(x)sin(nx)dx
これを部分積分すると
1/(2n-1)(1+(2n-1)^2)=1/π∫(-π,π)(Σcos((2k-1)x)/(1+(2k-1)^2))cos((2n-1)x)/(2n-1)dx
これを縦に足し合わせると
Σ1/(2n-1)(1+(2n-1)^2)=1/π∫(-π,π)(Σcos((2k-1)x)/(1+(2k-1)^2))Σcos((2n-1)x)/(2n-1)dx
ここで，フーリエ級数の公式
sinh(π/2-x)=4/πcosh(π/2)Σcos((2k-1)x)/(1+(2k-1)^2)
Σcos((2n-1)x)/(2n-1)=1/2log(cot(x/2))
より，
Σ1/(2n-1)(1+(2n-1)^2)=1/(4cosh(π/2)∫(0,π)sinh(π/2-x)･log(cot(x/2))dx
となって，関数を閉じた形に表せないというのが杉岡氏の計算結果である．
Σ(1,∞)１／（１＋（２ｎ－１）^2）
Σ(1,∞)１／（２ｎ－１）（１＋（２ｎ－１）^2）
について示したが，杉岡氏は一般に
Σ(1,∞)１／（２ｎ－１）^k（１＋（２ｎ－１）^2）
はｋが偶数のとき明示的に求められるが，奇数のときは関数を閉じた形に表せないだろうと述べている．すなわち，ζの奇偶性に対応することを主張しているのである．
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【２】フーリエシステムと奇数ゼータ（その２）
http://www5b.biglobe.ne.jp/~sugi_m/page182.htm
において，杉岡氏は奇数ゼータζ(3)，ζ(5)，・・・の非明示は
ｙ’＋ｙ^2＝－１ → 初等関数ｙ＝１／ｔａｎ（ｘ＋Ｃ）
ｙ”＋ｙ’^2＝－１ → 初等関数ｙ＝ｌｏｇ（ｓｉｎ（ｘ＋Ｃ））
ｙ^(3)＋｛ｙ^(2)｝^2＝－１ → 初等関数解なし
ｙ^(4)＋｛ｙ^(3)｝^2＝－１ → 初等関数解なし
ｙ^(5)＋｛ｙ^(4)｝^2＝－１ → 初等関数解なし
ｙ^(n+1)＋｛ｙ^(n)｝^2＝－１ → ｎ≧２のとき，初等関数解なし
との関連性を指摘しています．
http://www5b.biglobe.ne.jp/~sugi_m/page185.htm
においては，さらに偶数ゼータζ(2)，ζ(4)，・・・の明示が
ｙ^(n)＝（π－ｘ）／２
なる初等関数の存在と関連することを指摘しています．これらの初等関数は簡単に求められますから，すべての偶数ゼータζ(2n)は明示的に求まるというわけです．
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