平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる５種類の平行多面体（フェドロフ）はよく知られている．一般に，ｎ次元空間充填では，各頂点の周りに少なくともｎ＋１個の多面体が集まる．ｎ＋１個のとき，ｎ次元平行多面体の面数は最大２（２^n−１）個となる（ミンコフスキーの定理）．したがって，３次元平行多面体の面数は最大１４面となるし，４次元平行多胞体の胞数は最大３０胞となる．
原始的ｎ次元２（２^n−１）胞体には平行なｎ−１次元面が（２^n−１）組，平行なｎ−２次元面がｎ（ｎ＋１）／２組あることは組み合わせ的方法によって容易に理解されるところである．それでは平行な（１次元）辺は何組あるだろうか？ 一松信先生とこの問題について議論していたのだが，その際，原始的４次元３０胞体についての計算をご教示していただいたので紹介したい．
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【１】オイラーの多面体公式
正二十面体をイメージして下さい．正二十面体（頂点が１２個，正三角形の面が２０個ある）の各頂点からのびている５本の辺をそれぞれ１／３の長さの所で切り取り，五角錐をはずします．するとそこに１２枚の正五角形が現れ，２０枚の正三角形が２０枚の正六角形になるわけです．
サッカーボールは正二十面体の切頂形であって，正五角形が１２枚，正六角形が２０枚の合計３２枚の面で構成されています．１２個の正五角形はすべて離れています．
サッカーボールでは，頂点の数ｖ＝６０，辺の数ｅ＝９０ですから，面の数ｆ＝３２となってオイラーの多面体公式
ｖ−ｅ＋ｆ＝２
が成り立っています．しかし，実際に頂点の数ｖや辺の数ｅを数えたら途中で間違うこと必定です．
そこで，正五角形がｘ面，正六角形がｙ面あるとします．サッカーボールではどの頂点からも３本の辺が出ているので，５ｘ＋６ｙ個の頂点は同じ頂点が重複して３回数えられていることがわかります．したがって，頂点数ｖは
３ｖ＝５ｘ＋６ｙ
同様に，５ｘ＋６ｙ個の辺は同じ辺が重複して２回数えられているので，
２ｅ＝５ｘ＋６ｙ
オイラーの公式に代入すると
（５ｘ＋６ｙ）／３−（５ｘ＋６ｙ）／２＋ｘ＋ｙ＝２
より，ｘ＝１２，ｙ＝２０，ｖ＝６０，ｅ＝９０，ｆ＝３２
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【２】原始的３次元１４面体の計量
原始的３次元１４面体とは切頂八面体のことです．そこで，正方形がｘ面，正六角形がｙ面あるとします．切頂八面体でもどの頂点からも３本の辺が出ているので，４ｘ＋６ｙ個の頂点は同じ頂点が重複して３回数えられていることがわかります．したがって，頂点数ｖは
３ｖ＝４ｘ＋６ｙ
同様に，４ｘ＋６ｙ個の辺は同じ辺が重複して２回数えられているので，
２ｅ＝４ｘ＋６ｙ
オイラーの公式に代入すると
（４ｘ＋６ｙ）／３−（４ｘ＋６ｙ）／２＋ｘ＋ｙ＝２
より，ｘ＝６，ｙ＝８，ｖ＝２４，ｅ＝３６，ｆ＝１４
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【３】オイラー・ポアンカレの公式
ｆkをｎ次元多面体のｋ次元面の数とし，
（ｆ0，ｆ1，・・・，ｆn-2，ｆn-1）
を構成要素とするｎ次元正多胞体では，組み合わせ的方法によって，ｋ次元胞数ｆkが求められます．たとえば，正単体では
ｆk＝（ｎ＋１，ｋ＋１）
なのですが，ｋ＝ｎ−１のときｆk＝ｎ＋１であって，胞数はｎ＋１と計算されます．
同様に，双対立方体では
ｆk＝２^k+1（ｎ，ｋ＋１），ｋ＝ｎ−１のとき，ｆk＝２^n
立方体では
ｆk＝２^n-k（ｎ，ｋ），ｋ＝ｎ−１のとき，ｆk＝２ｎ
となります．
もちろん，
正単体：ｆk＝（ｎ＋１，ｋ＋１）
双対立方体：ｆk＝２^k+1（ｎ，ｋ＋１）
立方体：ｆk＝２^n-k（ｎ，ｋ）
はオイラー・ポアンカレの定理：
ｆ0−ｆ1＋ｆ2−・・・＋（−１）^(n-1)ｆn-1＝１−（−１）^n
すなわち，ｎが奇数なら２，偶数なら０を満たします．この定理は正多胞体に限らず，ｎ次元凸多胞体について常に成立します．
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【４】原始的４次元３０胞体の計量
原始的４次元３０胞体は原始的３次元１４面体の４次元版である．構成要素は正六角柱(644)（ＨＣと略）と切頂八面体(466)（ＴＯと略）で，ＨＣの六角形面をＴＯのひとつの面に合わせる必要がある．ＴＯの正方形面はすべてＨＣの側面と合わせる．そう考えると次のような接続になる．
(1)ＨＣの六角形面はつねにＴＯの六角形面と合う
(2)ＨＣの六角形面は半数がＴＯの四角形面に，半数が他のＨＣと合う
(3)ＴＯの四角形面はつねにＨＣの四角形面と合う
(4)ＴＯの六角形面は半数がＴＯの六角形面に，半数が他のＴＯと合う
全体としてＴＯ，ＨＣの胞数をｘ，ｙとすると，これらの接続関係から次の関係式が出る．
ｘ＋ｙ＝３０
２ｙ＝８ｘ／２（六角形面について）
６ｘ＝６ｙ／２（四角形面について）
したがって，ｘ＝１，ｙ＝２０
面の数は四角形面の延べ数が３０×６（両者とも四角形面は６個ずつ），六角形面の延べ数が８ｘ＋６ｙ＝１２０
２面ずつ接するから面の実数は四角形面が１８０／２＝９０，六角形面が１２０／２＝６０，合計１５０枚
辺の延べ数は４×９０＋６×６０＝７２０本であり，１辺の３胞（３面）ずつが会するから，辺の実数は７２０／３＝２４０本
頂点数はオイラー・ポアンカレの公式から
３０＋２４０−１５０＝１２０個
延べ数が７２０（辺の延べ数と同じ）なので，各頂点に６本ずつの辺が会する．
これで大体の形がわかったのでまとめると，原始的４次元３０胞体では５組（１０個）の切頂八面体と１０組（２０個）の六角柱からなる３０胞体となる．これはケルビンの立体の４次元版で，各頂点の周りに５個ずつ集まる．この切頂八面体(466)×１０と正六角柱(644)×２０からなる４次元空間充填図形の諸計量は，
Ｖ＝１２０，Ｅ＝２４０，Ｆ＝１５０，Ｃ＝３０
１つの頂点の周りに集まる胞数は(466)×２，(644)×２
となる．
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【５】雑感
故・乙部融朗住職が「数式の羅列はそれはそれで必ず正しいのですが計算が終わるマデにイメージが浮かぶのは一松先生のような大家のみカナ．」と話しておられたことを思い出した．
一松先生が誤りがあるかもしれない・・・とおっしゃるのだが，考察の続きを申し添えておきたい．『正六角柱の側面６本ずつは平行線の族である．これから一応，２０組の平行線の族ができる．６×２０＝１２０本で全体の半分，そのうち，点対称な位置にある２組ずつが同じ向きなので，全体で１０組，１２本ずつの平行な辺の組ができる．３次元のＴＯのときと同じく六角形面同士の交わりの辺は対辺と平行であり，上記のどれかの組と平行になるので全体として２４本ずつ１０組の平行な辺の組ができるように思う．それらの向きは４次元の正５胞体において，中心から一対の対辺の中点とそれに相対する面の（正三角形の中心）を結ぶ方向，合計１０本であるように思う．』
なお，一松先生はコラム「デーン不変量と二面角の幾何学」に対してもコメントくださり
『３次元の正多面体の二面角について，δ6＝９０°，δ4＋δ8＝１８０°という関係がありますが，それ以外の有理数関係はないようです．δ4とδ8とは互いに補角なので，
ｎ1δ4＋ｎ2δ6＋ｎ3δ12＋ｎ4δ20＝０
ｎ1δ8＋ｎ2δ6＋ｎ3δ12＋ｎ4δ20＝０
の一方が証明できれば他方も証明できるし，多分，整数論の知識を利用して証明できると思います．そして，これらが有理係数で線形独立ならば必要な原子が最低４種類という結論が主張できると思います（デーンの公式の一般化）．』
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