【１】ボロノイベクトル

　ここでは，ｎ次元格子の幾何学的分類をボロノイ細胞を使って考えるのだが，ボロノイ細胞の決定に関与するベクトルをボロノイベクトルと呼ぶことにすると，ｎ個の独立なベクトル

　　ｖ1，ｖ2，・・・，ｖn

あるいは，それらの和が

　　ｖ0＋ｖ1＋ｖ2＋・・・＋ｖn＝０

を満たす１次従属なベクトルｖ0を加えたｎ＋１個のベクトル

　　ｖ0，ｖ1，ｖ2，・・・，ｖn

でボロノイ細胞を決定することができる（ｖ0をひとつ追加して考えることで，重要な進歩をもたらすことができる）．

　ボロノイベクトルは，ｖと−ｖを同じベクトルと考えると

　　ｍ0ｖ0＋ｍ1ｖ1＋ｍ2ｖ2＋・・・＋ｍnｖn　　　（ｍiは０または１）

で表すことができるのだが，ｍiは同時に０または１であってはならない．また，たとえば，３次元の場合（ｖ0＋ｖ1＋ｖ2＋ｖ3＝０）では

　　ｖ0＋ｖ3＝−（ｖ1＋ｖ2）

のようにそれを表すベクトルは２つずつある．したがって，ボロノイベクトルは

　　（２^(n+1)−２）／２＝２^n−１

個あることになる．

　−１を掛けたものを含めると２（２^n−１）個あり，ボロノイ細胞の２（２^n−１）個のｎ−１次元平行面に対応する．そのため，２次元格子の多くについてボロノイ細胞は６角形，３次元格子の多くについてボロノイ細胞は１４面体となるのである．

　このことは高次元の場合に一般化できて，４次元格子では３０胞体，５次元格子では６２房体になる．ｆkをｎ次元多胞体のｋ次元面の数とし，

　　（ｆ0，ｆ1，・・・，ｆn-2，ｆn-1）

を構成要素とするｎ次元正多胞体で，ｎ−１次元胞数ｆn-1を求めると

　ｆn-1（ｎ−１次元面の数）

ｎ＝２　　　ｆ1＝６

ｎ＝３　　　ｆ2＝１４

ｎ＝４　　　ｆ3＝３０

ｎ＝５　　　ｆ4＝６２

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【２】ボロノイ細胞の形

　ｎ次元ボロノイ細胞の決定に関与する基底ベクトルは２^n−１個あり，したがって面の数は最大で２（２^n−１）個であることはわかったが，面の形はどうなるのだろうか？

　ボロノイベクトルにはボロノイ細胞のｎ−１次元超平面の中心を通過するもの，ボロノイ細胞の角（ｎ−２次元超平面，・・・）を通過するなどがある．角を通るベクトルもごくわずかのところでボロノイ細胞のｎ−１次元面に関与していないだけなので，面心を通るベクトルと少なくとも同じ程度に重要である．

　たとえば，ｖi(i=1-n)はｎ−１次元面の面心を通るのだが，ｖ0は２次元でも３次元でも頂点（０次元面）を通る．組み合わせ的方法によって，ボロノイベクトルが通る位置とその数を求めてみよう．

［１］２次元の場合（ｖ0＋ｖ1＋ｖ2＝０）

点：ｖ0

辺：ｖ1，ｖ2

［２］３次元の場合（ｖ0＋ｖ1＋ｖ2＋ｖ3＝０）

点：ｖ0

面：ｖ1，ｖ2，ｖ3

辺：ｖ1＋ｖ2，ｖ2＋ｖ3，ｖ1＋ｖ3・・・この図形には平行な辺（１次元面）が３組ある

［３］４次元の場合（ｖ0＋ｖ1＋ｖ2＋ｖ3＋ｖ4＝０）

点：ｖ0

胞：ｖ1，ｖ2，ｖ3，ｖ4

面：ｖ1＋ｖ2，ｖ1＋ｖ3，ｖ1＋ｖ4，ｖ2＋ｖ3，ｖ2＋ｖ4，ｖ3＋ｖ4・・・この図形には平行な面（２次元面）が５組ある

辺：ｖ1＋ｖ2＋ｖ3，ｖ1＋ｖ2＋ｖ4，ｖ1＋ｖ3＋ｖ4，ｖ2＋ｖ3＋ｖ4

［４］ｎ次元の場合（ｖ0＋ｖ1＋ｖ2＋・・・＋ｖn＝０）

　ｇkをｎ次元ボロノイベクトルのｋ次元面の数とし，構成要素を

　　（ｇ0，ｇ1，・・・，ｇn-2，ｇn-1）

とすると

ｇn-1：nＣ1＝ｎ

ｇn-2：nＣ2＝ｎ（ｎ＋１）／２・・・この図形には平行なｎ−２次元面がｇn-2組ある

ｇ1　：nＣn-1＝ｎ

ｇ0　：nＣn＝１

計 　：２^n−１

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　ボロノイ細胞のｎ−１次元面の数は２（２^n−１）個あり，それらの形はｎ−２次元面の退化・非退化によって決まってくる．この図形には平行なｎ−２次元面がｎ（ｎ＋１）／２組ある．

　３次元の場合，６組の平行な辺によって切頂八面体が定められることになるのだが，

点：ｖ0　　　　　　　　　　　　　→　六角形

面：ｖ1，ｖ2，ｖ3　　　　　　　　→　六角形

辺：ｖ1＋ｖ2，ｖ2＋ｖ3，ｖ1＋ｖ3 →　四角形

となり，４組（８枚）の六角形面と３組（六枚）の四角形面からなる１４面体が得られる．３次元空間を充填するとき，切頂八面体は各頂点の周りに４個ずつ集まる．１点に４個の多面体が会すると頂点や辺だけで接している多面体がなくなり，ボロノイ分割に対して安定となる．

　平行多面体とは，平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる単独の多面体であって，立方体，６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体，切頂８面体の５種類しかない．

　このうち６角柱，菱形１２面体は４次元立方体，長菱形１２面体は５次元立方体，切頂８面体は６次元立方体を３次元空間に投影したものと一致している．また，切頂８面体（ｆ＝１４）の辺を点に縮めることによって，長菱形１２面体（ｆ＝１２）→菱形１２面体（ｆ＝１２）→６角柱（ｆ＝８）→立方体（ｆ＝６）ができると考えることができる．１点に４個の多面体が会してボロノイ分割に対して安定なものは切頂八面体だけなのであるが，立方体や菱形十二面体は，切頂八面体の辺を点に縮めることによって得られるというわけである．

　これら５種類の図形（平行多面体）は３次元格子の幾何学的分類であり，５種類の正多面体（プラトン立体）ほどよく知られていないが，少なくとも同じ程度に重要であると考えられる所以である．

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　４次元の場合は

点：ｖ0 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　→　切頂八面体

胞：ｖ1，ｖ2，ｖ3，ｖ4　　　　　　　　　　　　　　　　　→　切頂八面体

面：ｖ1＋ｖ2，ｖ1＋ｖ3，ｖ1＋ｖ4，ｖ2＋ｖ3，ｖ2＋ｖ4，ｖ3＋ｖ4→六角柱

辺：ｖ1＋ｖ2＋ｖ3，ｖ1＋ｖ2＋ｖ4，ｖ1＋ｖ3＋ｖ4，ｖ2＋ｖ3＋ｖ4→六角柱

となり，５組（１０個）の切頂八面体と１０組（２０個）の六角柱からなる３０胞体となる．これはケルビンの立体の４次元版で，各頂点の周りに５個ずつ集まる．

　ついでにいうと，４次元格子のボロノイ細胞は２次元の六角形（３組の平行な頂点をもつ図形）や３次元の切頂８面体（６組の平行な辺をもつ図形）にあたる素の形（１０組の平行な２次元面をもつ図形）が３つ（残り２つ）あるため３次元の５種類から５２種類へと急増するそうである．５次元格子では素の形だけで２２２種類，その辺を点に縮めると膨大な数になる．

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