［１］メルセンヌ数

　ａ^n−１が素数ならば，ａ＝２かつｎも素数である．

（証）

　　ａ^n−１＝（ａ−１）（ａ^n-1＋ａ^n-2＋・・・＋ａ＋１）

したがって，ａ＝２でなければならない．また，ｎ＝ｋｌならば

　　２^kl−１＝（２^k）^l−１＝（２^k−１）（（２^k）^l-1＋（２^k）^l-2＋・・・＋２^k＋１）

よりｎは素数でなければならない．

［２］フェルマー数

　２^n＋１が素数ならば，ｎ＝２^mである．

（証）

　ｎ≠２^mと仮定するとｎの因数のひとつは奇数であり，ｎ＝ｋｌ（ｌは奇数）と表される．

　　２^kl＋１＝（２^k）^;＋１＝（２^k＋１）（（２^k）^l-1−（２^k）^l-2＋・・・−２^k＋１）

は素数ではあり得ない．したがって，ｎの素因数は２だけである．

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