メルセンヌ数２^n−１が合成数であるならば，因数はあるｋに対してｋｎ＋１である．

　　２^11−１＝２０４７＝２３・８９→２３＝２・１１＋１

　　２^23−１＝８３８８６０７＝４７・１７８４８１→４７＝２・２３＋１

　　２^37−１＝１３７４３８９５３４７１＝２２３・６１６３１８７７→ ２２３＝６・３７＋１

　この方法は，フェルマー数の素数性の判定

　　Ｆ5 ＝２^2^5＋１＝４２９４９６７２９７＝６４１×６７００４１７

に対しても使うことができて，オイラーはＦn が合成数であるならば，それはあるｋに対してｋ２^n+1 ＋１であることを知っていて，Ｆ5 の中の因数６４１＝１０・２^6 ＋１を見つけたのです．

　　ｋ＝１→６４＋１（非素数）

　　ｋ＝２→１２８＋１（非素数）

　　ｋ＝３→１９２＋１（素数）

　　ｋ＝４→２５６＋１（素数）

　　ｋ＝５→３２０＋１（非素数）

　　ｋ＝６→３８４＋１（非素数）

　　ｋ＝７→４４８＋１（素数）

　　ｋ＝８→５１２＋１（非素数）

　　ｋ＝９→５７６＋１（素数）

　　ｋ＝１０→６４０＋１（素数）→Ｆ5 ＝６４１×６７００４１７

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