数と図形は，いわば車の両輪として，現在の数学体系を築きあげてきたのであるが，古代ギリシャの数論では数と図形が一体化していたといえる．それが図形数（数の図形）である．

　三角数△n＝Σｋ＝ｎ（ｎ＋１）／２

　平方数□n＝Σ（２ｋ−１）＝ｎ^2

後者はグノモンの組み合わせによって，幾何学的に表現されたのである．

また，

　　△n＋△n-1＝ｎ（ｎ＋１）／２＋ｎ（ｎ−１）／２＝ｎ^2＝□n

　　８△n＋１＝＝４ｎ（ｎ＋１）＋１＝（ｎ＋１）^2＝□n+1

なども幾何学的に証明することができる．

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［１］３角数であり平方数であるものは無限に存在します．

（証明）１／２ｙ（ｙ＋１）＝ｘ^2，すなわち，

　　（２ｙ＋１）^2−２（２ｘ）^2＝１

をみたす自然数の組（ｘ，ｙ）が無限にあることいえばよい．

　自然数ａn，ｂnを（１＋√２）^n＝ａn＋ｂn√２によって定義すると，

　　ａn^2−２ｂn^2＝（ａn＋ｂn√２）（ａn−ｂn√２）

　　　　　　　　　＝（１＋√２）^n（１−√２）^n＝（−１）^n

また，（１＋√２）^nの展開を考えると，

　　ａn＝１＋（偶数），ｂn＝ｎ＋（偶数）

よって，ｎを偶数にとるとａn^2−２ｂn^2＝１，ａnは奇数，ｂnは偶数．

そこで，ｙ＝（ａn−１）／２，ｘ＝ｂn／２とおくと，

　　（２ｙ＋１）^2−２（２ｘ）^2＝１

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