もし，仮に加法の素因数分解を考えれば，たとえば，

　　１０＝３＋７＝５＋５＝２＋３＋５＝・・・

と幾通りもの素因数分解が考えられるところである．（ｐ（１０）＝４１通りの方法がある．）

　それに対して，乗法の素因数分解は順序の違いを除けば１通りしかないというのが「算術の基本定理」である．

　　１０＝２・５＝５・２

　物質の世界において，原子が分裂することは一大事であるが，数の世界において，素数が分裂することは一大事である．たとえば，

　　ａ＋ｉｂ√５　　（ａ，ｂは整数）

の形の数の世界を考えると，この世界では

　　２１＝３×７＝（４＋ｉ√５）（４−ｉ√５）

のように素因数分解の一意性が成り立たない．

　　Ｚ（ｉ），Ｚ（√−２），Ｚ（√２），Ｚ（√３），Ｚ（√６）

など，Ｚ（√ｍ）という形の環（ｍは平方因子をもたない整数）でユークリッド整域になるものは２０個くらいしかないことが知られていることを補足しておきたい．そこには大切な法則ながあるに違いない．

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　Ｑ（ｉ）の整数環は一意分解整域である．つまり，どの整数ａ＋ｂｉも素数の積で，順序は無視して一通りに表される．さらにこの環は整除のアルゴりズムが定義されるユークリッド整域である．

　整数環Ｚもユークリッド整域であり，したがって一意分解整域である．Ｚはｎ＝１の円分体Ｑ（ξn）の整数環と考えられる．

　虚２次体の単数が±１でないものが２つある．

　　Ｑ（ｉ）→±１，±ｉ

　　Ｑ（ω）→（（−１＋ｉ√３)/2))^j，ｊ＝０〜５

　虚２次体Ｑ（√−ｄ）の類数が１であるｄは９個ある．

　　ｄ＝１，２，３，７，１１，１９，４２，６７，１６３

この体の整数は，素数の積で順序は無視して一通りに表される．ガウスはこの９個をしっていたが，他にはないということがわかったのは１９６６年になってからである．後半の４つ，ｄ＝１９，４２，６７，１６３に対し，Ｑ（√−ｄ）の整数環はユークリッド整域ではないので注意．

　虚２次体Ｑ（√−ｄ）の類数が２となるｄは９個ある．

　　ｄ＝５，６，１０，１３，１５，２２，３５，３７，５１，５８，９１，１１５，１２３，１８７，２３５，２６７，４０３，４２７

　実２次体Ｑ（√ｄ）の整数環がノルムの絶対値に関してユークリッド整域となるのは，次の１６個である．

　　ｄ＝２，３，５，６，７，１１，１３，１７，１９，２１，２９，３３，３７，４１，５７，７３

整除のアルゴリズムが定義できる整域をユークリッド整域という．

　円分体Ｑ（ξn）の整数が素数の積として一通りに表されるｎ（≠２　ｍｏｄ４）は，次の３０個である．

　　ｎ＝１，３，４，５，７，８，９，１１，１２，１３，１５，１６，１７，１９，２０，２１，２４，２５，２７，２８，３２，３３，３５，３６，４０，４４，４５，４８，６０，８４

　円分体Ｑ（ξn）の整数環は

　　ｎ＝１，３，４，５，７，８，９，１１，１２，１５，１６，２０，２４

のとき，ユークリッド整域である．ｎ＝３２のときはそうではない．

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