ユークリッド整域は，ある数体系内で，除法

　　α＝β・γ＋δ，｜δ｜＜｜β｜

は可能かという問題ですが，単項イデアル整域（ＰＩＤ）は素因数分解の一意性が成り立つかどうかという問題です．

　前者は数論幾何学的に計算できるのでわかりやすいが，それに比べ，後者はわかりづらい代物である．しかし，後者でも

　　０＜ａ＜２√（ｄ／３），−ａ／２＜ｂ＜ａ／２　　（ａ^2／４＞ｂ^2）

を満たすイデアル（ａ，ｂ＋√−ｄ）が存在して，その個数は４ｄ／３未満であるという幾何学的名構造は存在する．そして，イデアル類群の位数を類数と呼ぶ．

［１］ユークリッド整域ならばＰＩＤである．しかし，逆は成り立たない．ＰＩＤはユークリッド整域とは限らないのである．

［２］したがって，Ｚ（√−１），Ｚ（√−２）はＰＩＤであるが，Ｚ（√−ｄ），ｄ＞２はＰＩＤとは限らないことになる．実はＺ（√−ｄ），ｄ＞２は決してＰＩＤとにならないのである．

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