二次曲線ａｘ^2＋ｂｙ^2＝ｃのグラフは円錐曲線ですが，この方程式が有理数解を１つもてば，実は無数のもつことを示すことができます．たとえば，方程式ｘ^2＋ｙ^2＝１には，無限に多くの有理数解（３／５，４／５），（５／１３，５／１２），（１２／３７，３５／３７）など・・・が存在します．

　半径が√２の円，ｘ^2＋ｙ^2＝２は（１，１）より，無限に多くの有理数解をもつのですが，半径が√３の円，ｘ^2＋ｙ^2＝３になると有理点は全くなってしまいます．２次曲線は有理点を無限のもつか、１つももたないかのどちらかなのです．

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　（その１１）のまとめですが，ｐを素数として，ｐ＝ｘ^2＋ｙ^2を満たす整数ｘ，ｙが存在するための必要十分条件は

　　ｐ＝１（ｍｏｄ４）またはｐ＝２

であることは有名です．

　たとえば，半径が√５の円，ｘ^2＋ｙ^2＝５は（１，２）より，無限に多くの有理数解をもつのですが，半径が√７の円，ｘ^2＋ｙ^2＝７では，

［５］ｘ^2＋ｙ^2＝７ｚ^2をみたす整数（ｘ，ｙ，ｚ）は存在しない

（証）ｘ，ｙ，ｚはどの２つの互いに素と仮定してよい．４ｎ＋３の数はａ^2＋ｂ^2の形にならないことは簡単に示すことができる．

　　ａ＝４ｋ　　　→　ａ^2＝０　　（ｍｏｄ　４）

　　ａ＝４ｋ＋１　→　ａ^2＝１　　（ｍｏｄ　４）

　　ａ＝４ｋ＋２　→　ａ^2＝０　　（ｍｏｄ　４）

　　ａ＝４ｋ＋３　→　ａ^2＝１　　（ｍｏｄ　４）

したがって，ａ^2＋ｂ^2を４で割ったときの余りは０＋０，０＋１，１＋０，１＋１，７ｚ^2を４で割ったときの余りは０，３にしかならないので，この主張が示されました．

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　楕円の場合はどうでしょうか？

［６］２ｘ^2＋３ｙ^2＝ｚ^2をみたす整数（ｘ，ｙ，ｚ）は存在しない

　　２ｘ^2＝０，２　　（ｍｏｄ４）

　　３ｙ^2＝０，３　　（ｍｏｄ４）

　　２ｘ^2＋３ｙ^2＝０，１，２，３　　（ｍｏｄ４）

　　ｚ^2＝０，１　　（ｍｏｄ４）

　互いに素な整数ａ，ｂに対する平方の和ａ^2＋ｂ^2は３で割れません．

　　ａ＝３ｋ　　　→　ａ^2＝９ｋ^2

　　ａ＝３ｋ＋１　→　ａ^2＝９ｋ^2＋６ｋ＋１

　　ａ＝３ｋ＋２　→　ａ^2＝９ｋ^2＋１２ｋ＋４

より，ａ^2を３で割ったときの余りは０か１になります．０になるのはａが３の倍数のときです．

　ｂ^2に対しても同じことが成り立ちますから，ａ^2＋ｂ^2を３で割ると，余りは０＋０，０＋１，１＋０，１＋１にしかなりません．０＋０はａもｂも３の倍数であることに対応していて，仮定に反します．

　　２ｘ^2＝０，２　　（ｍｏｄ３）

　　３ｙ^2＝０　　　　（ｍｏｄ３）

　　２ｘ^2＋３ｙ^2＝０，２　　（ｍｏｄ３）

　　ｚ^2＝０，１　　（ｍｏｄ３）

ｘ，ｙ，ｚはどの２つの互いに素と仮定してよいので，この主張が示される．

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