０＜ａ＜２√（ｄ／３），－ａ／２＜ｂ＜ａ／２　　（ａ^2／４＞ｂ^2）

を満たすイデアル（ａ，ｂ＋√－ｄ）が存在して，その個数は４ｄ／３未満である．そして，イデアル類群の位数を類数と呼ぶ．

　ここでは，

　　０＜ａ＜２√（ｄ／３），－ａ／２＜ｂ＜ａ／２　　（ａ^2／４＞ｂ^2）

と使って，類数を求めてみます．

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［１］ｄ＝１，２

　　０＜ａ＜√（８／３）＜２より，１を元にもつイデアルを含む．すべての元は単項イデアルである．

［２］ｄ＝５

　　０＜ａ＜√（２０／３）＜３より，１か２を元にもつイデアルを含む．（２）＝Ｐ^2，Ｐ＝（２，１＋√－５）だから，（２）を含むイデアルは（１），Ｐ，Ｐ^2＝（２）．Ｐは単項イデアルでないのでＣＬ（Ｚ√－５）＝｛１，｜Ｐ｜｝→ｈ（Ｚ√－５）＝２

［３］ｄ＝１０

　　０＜ａ＜√（４０／３）＜４より，１か２か３を元にもつイデアルを含む．（２）＝Ｐ^2，Ｐ＝（２，１＋√－５）だから，（２）を含むイデアルは（１），Ｐ，Ｐ^2＝（２）．Ｐは単項イデアルでない．また（－１０／３）＝－１なので（３）は素イデアル．ＣＬ（Ｚ√－１０）＝｛１，｜Ｐ｜｝→ｈ（Ｚ√－１０）＝２

［４］ｄ＝１４

　　０＜ａ＜√（５６／３）＜５より，１か２か３か４を元にもつイデアルを含む．（２）＝Ｐ^2，Ｐ＝（２，√－１４）だからＰは単項イデアルでない．（３）＝ＰＰ~，Ｐ＝（３，１＋√－１４）だからＰは単項イデアルでない．（４）＝Ｐ^4，ＰＱ^2＝（２－√－１４）だから，ＣＬ（Ｚ√－１０）＝｛１，｜Ｑ｜，｜Ｑ^2｜，｜Ｑ^3｜｝→ｈ（Ｚ√－１４）＝４

　同様に

［５］ｄ＝６：ＣＬ（Ｚ√－６）＝｛１，｜Ｐ｜｝，Ｐ＝（２，√－６）→ｈ（Ｚ√－６）＝２

［６］ｄ＝１３：ＣＬ（Ｚ√－１３）＝｛１，｜Ｐ｜｝，Ｐ＝（２，１＋√－１３）→ｈ（Ｚ√－１３）＝２

［７］ｄ＝１７：ＣＬ（Ｚ√－１７）＝｛１，｜Ｑ｜，｜Ｑ^2｜，｜Ｑ^3｜｝，Ｑ＝（３，１＋√－１７）→ｈ（Ｚ√－１７）＝４

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