（その３５）において，［１］の場合，（ｐ）＝Ｎ（Ｐ）を満たす素イデアルが存在するが，Ｐは単項イデアルとは限らない．たとえば，

　　（３）＝（３，１＋√−５）（３，１−√−５）

では，３＝ａ^2＋５ｂ^2を満たす（ａ，ｂ）は存在しないが，

　　（２９）＝（３＋２√−５）（３−２√−５），３９＝３^2＋５・２^2

のようにｐが２つの単項イデアルの積になることもある．

　与えられたイデアルはいつ単項イデアルの積であり，いつ積でないのか？　そして，イデアル類群の位数を類数と呼ぶ．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　判別式の絶対値｜Ｄ｜が５０以下の２次体Ｑ（√ｄ）をあげてみましょう．まず，

　　ｄ=２，３（ｍｏｄ４）　→　Ｄ=４ｄ

　　ｄ=１（ｍｏｄ４）　　　→　Ｄ=ｄ

ですから，

　　ｄ＝４ｎ＋１　　　→　｜ｄ｜≦５０

　　ｄ＝４ｎ＋２，３　→　｜ｄ｜≦１２

　また，ｄは０，１以外の平方因数をもたない整数でなければなりませんから，４の倍数，９の倍数，１６の倍数，２５の倍数，３６の倍数，４９の倍数を除外すると，

　　−１，±２，±３，±５，±６，±７，±１０，

　　±１１，±１３，±１４，±１５，±１７，±１９，

　　±２１，±２２，±２３，±２６，±２９，±３０，

　　±３１，±３３，±３４，±３５，±３７，±３９，

　　±４１，±４３，±４６，±４７

　これらのなかで，

　　ｄ＝４ｎ＋１　　　→　｜ｄ｜≦５０

　　ｄ＝４ｎ＋２，３　→　｜ｄ｜≦１２

という条件を満たすのは

　　−１，±２，±３，±５，±６，±７，±１０，±１１，

　　１３，１７，２１，２９，３３，３７，４１，

　　−１５，−１９，−２３，−３１，−３５，−３９，−４３，−４７

になります．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】ディリクレの類数公式

　Ｑ（√ｍ）の判別式をＤ，χ＝（Ｄ／ａ）をディリクレ指標とするとき，類数ｈは次のように与えられます．

［１］ｍ＜０のとき（虚２次体）

　　ｈ＝−ω／２｜Ｄ｜Σχ(a)a

　ここで，ωは単数の個数で

　　ｍ＝−３のとき，ω＝６（±１，±ω，±ω^2）

　　ｍ=−１のとき，ω＝４（±１，±ｉ）

　　それ以外のとき，ω＝２（±１）

となります．

　以下，虚２次体類数の計算例を掲げます．

(1)Ｑ（√−１）：ｈ＝１

Ｄ＝−４，ω＝４，

χ(a) ＝（−４／ａ）＝＋１　　　ａ＝１

　　　　　　　　　　＝−１　　　ａ＝３

ｈ＝−４／２｜−４｜（１・１＋（−１）・３）＝１

(2)Ｑ（√−２）：ｈ＝１

Ｄ＝−８，ω＝２，

χ(a) ＝（−８／ａ）＝＋１　　　ａ＝１，３

　　　　　　　　　　＝−１　　　ａ＝３，７

ｈ＝−２／２｜−８｜（１・１＋１・３＋（−１）・５＋（−１）・７）＝１

(3)Ｑ（√−３）：ｈ＝１

Ｄ＝−３，ω＝６，

χ(a) ＝（−３／ａ）＝＋１　　　ａ＝１

　　　　　　　　　　＝−１　　　ａ＝２

ｈ＝−６／２｜−３｜（１・１＋（−１）・２）＝１

(4)Ｑ（√−５）：ｈ＝２

Ｄ＝−２０，ω＝２，

χ(a) ＝（−２０／ａ）＝＋１　　　ａ＝１，３，７，９

　　　　　　　　　　　＝−１　　　ａ＝１１，１３，１７，１９

ｈ＝−２／２｜−２０｜（１・１＋１・３＋１・７＋１・９＋（−１）・１１＋（−１）・１３＋（−１）・１７＋（−１）・１９）＝２

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝