【１】平方剰余の相互法則

　　（ａ／ｐ）=＋１　←→　ａがｐを法とする平方剰余

　　　　　　　　　　　（ｘ^2=ａ　ｍｏｄｐなる整数ｘが存在するとき）

　　（ａ／ｐ）=−１　←→　平方非剰余（そうでないとき）

と定義します．

　たとえば，整数ａに対して，

　　ｘ^2=ａ　　ｍｏｄｐ

となる整数ｘが存在するかどうかを考えると

　　Ｚ／ｐＺ=Ｆp=｛０，１，・・・，ｐ−１｝

について代入してみればいいわけで，ｐ=５の場合，

　　０^2=０，１^2=１，２^2=４，３^2=９=４，４^2=１６=１

ですから，ａ=１，４（ｍｏｄ５）のときは平方剰余，ａ=２，３（ｍｏｄ５）のときは平方非剰余，すなわち，

　　（１／５）=（４／５）=１，（２／５）=（３／５）=−１

となります．

　　（ａ／ｐ）=ａ^{(p-1)/2} (mod p)　　　　　（オイラー規準）

　　（−１／ｐ）=（−１）^{(p-1)/2}，ｐ≠２　　（第１補充法則）

　　（２／ｐ）=（−１）^{(p^2-1)/8}，ｐ≠２　　（第２補充法則）

すなわち，オイラー規準において，（−１／ｐ）に関するものが第１補充法則，（２／ｐ）に関するものが第２補充法則と呼ばれます．

　クロネッカーの指標やディリクレの指標はルジャンドル記号の計算に還元されるのですが，オイラー規準は法ｐに関するａ^{(p-1)/2}の剰余を求めなければならないため，ｐが大きいとき（ａ／ｐ）を決定するのはかなり大変です．それに対して，

　　（ｑ／ｐ）（ｐ／ｑ）=（−１）^{(p-1)/2}{(ｑ-1)/2}

が有名なガウスの平方剰余の相互法則です．

　前述のように（ｐ／５）は簡単に計算されますが，その際，（５／ｐ）すなわちｘ^2=５（ｍｏｄｐ）なる整数ｘがあるかどうかについてもわかるというのが平方剰余の相互法則なのです．（ａ／ｐ）はガウスの相互法則を用いてすばやく計算することができます．

　このような計算により，次の表が得られます．

　　　　　　　完全分解（＋１）　２次体でも素（−１）　分岐（０）

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Ｑ（√−１）　　p=1(mod4)　　　　　 p=3(mod4)　　　　　　 p=2

Ｑ（√−２）　　p=1,3(mod8)　　　　 p=5,7(mod8)　　　　　 p=2

Ｑ（√２）　　　p=1,7(mod8)　　　　 p=3,5(mod8)　　　　　 p=2

Ｑ（√−３）　　p=1(mod3)　　　　　 p=2(mod3)　　　　　　 p=2

Ｑ（√３）　　　p=1,11(mod12)　　　 p=5,7(mod12)　　　　　p=2,3

Ｑ（√５）　　　p=1,4(mod5)　　　　 p=2,3(mod5)　　　　　 p=5

Ｑ（√−５）　　p=1,3,7,9(mod20)　　p=11,13,17,19(mod20)　p=2,5

Ｑ（√６）　　　p=1,5,13,19(mod24)　p=7,11,17,23(mod24)　 p=2,3

Ｑ（√−６）　　p=1,5,7,11(mod24)　 p=13,17,19,23(mod24)　p=2,3

Ｑ（√−１５）　p=1,2,4,8(mod15)　　p=7,11,13,14(mod24)　 p=3,5

Ｑ（√−２３）　p=1,2,3,4,6,8,9,12,13,16,18(mod23) p=23

p=5,7,10,11,14,15,17,19,20,21,22(mod23)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　この表は，たとえばＱ（√３）においてp=1,11(mod12)なる素数は２個の数のの積に分解

　　１１=（２√３＋１）（２√３−１）

　　１３=（４＋√３）（４−√３）

することを示しています．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝