紀元前３世紀の頃（ユークリッドの時代），既に５種類の正多面体は知られていたといわれています．これら５個はすべて頂点がひとつの球面上にあり，Ｄを球面の直径，ａを内接する正多面体の辺の長さとすると，

　　立方体　→　Ｄ^2＝３ａ^2

　　正四面体　→　Ｄ^2＝３ａ^2／２

　　正八面体　→　Ｄ^2＝２ａ^2

　　正十二面体　→　Ｄ^2＝（５＋√５）ａ^2／２

　　正二十面体　→　Ｄ^2＝３（３＋√５）ａ^2／２

　また，正多面体ではすべての二面角が等しいという性質をもっています．今回のコラムでは正多面体の二面角に着目してみます．

　立方体の二面角はπ／２（ｃｏｓδ6＝０，δ6＝９０°）ですが，他の正多面体については

　　正四面体　→　ｃｏｓδ4＝１／３，δ4＝７０．５２８８°

　　正八面体　→　ｃｏｓδ8＝−１／３，δ8＝１０９．４７１°

　　正十二面体　→　ｃｏｓδ12＝（１−φ^2）／（１＋φ^2）＝−√５／５，ｔａｎδ12＝−２，δ12＝１１６．５６５°

　　正二十面体　→　ｃｏｓδ20＝（１−φ^4）／（１＋φ^4）＝−√５／３，ｓｉｎδ20＝２／３，δ20＝１３８．１９°

と計算されます．正四面体と正八面体の二面角は互いに補角をなすというわけです．

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【１】デーンの定理（１９０１年）

　任意の三角形を平行四辺形に直す→長方形に直すことは小学校の教科書にも載っている方法ですが，平面上に面積の等しい２つの多角形が与えられたとき，どちらにも組み立てられる有限個の小片が必ず存在します（ボヤイ・ゲルヴァインの定理，１８３３年）．

　デュドニーのカンタベリー・パズルは正三角形をそれと等積の正方形に直す問題ですが，正五角形や正六角形を切り刻んで正方形に再構成する仕方も知られています．また，正六角形をいくつかの小片に切り離して並び替え正八角形をつくることや星形を正方形にかえることも可能です．

　それでは，同じ体積の２つの多面体は常に分解合同であろうか？　１９００年，ヒルベルトは体積の等しい２つの多面体が切断によって合同かどうかを国際数学者会議での問題として問いかけました．それに対して，１９０１年，デーンは体積の等しい立方体と正四面体は切断によって合同でないという結果を証明しました．任意の三角形は長方形と分割合同であることが証明されるので，デーンの定理は２次元と３次元の違いを際立たせていることになります．

　デーンを有名にしたこの定理は，パリの国際数学者会議（１９００年）においてヒルベルトが提出した第３問題を直後に否定的に解決したものです．第３問題「分解合同・補充合同でない２つの多面体の存在を示せ」の背景には，ユークリッドの原論にみられる面積と体積の理論を幾何学の厳密な公理の上に再構成しようとしたヒルベルトのプログラム（幾何学基礎論）が潜んでいるのですが，それに対する否定的な解答がデーンの定理というわけです．

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　　「正四面体と直方体は（たとえ同じ体積をもっていたとしても）分割合同ではない」ことは，二面角δがπとは通約できない（ｃｏｓδ＝１／３ならばδはπの有理数倍ではない），すなわち，０でない整数ｎ1，ｎ2に対して

　　ｎ1δ＋ｎ2π＝０

が成り立たないことを使って証明されます．

　また，デーンの定理から

　　「同じ底面積と高さをもつ２つの三角錐は分割合同ではない．」

ことも証明されます．同様に，そのｎ次元版「等積なｎ次元正単体とｎ次元直方体とは分解合同にならない」ことが結論されます．

　デーンの定理により，一般には同じ体積をもつ他の多面体には組み替えられないのですが，菱形十二面体と直方体の間の立体蝶番返し，鼈臑型四面体の三角柱への組み換えなどは分解合同の例ですが，それは例外的なケースなのであって，多面体においては体積が等しくても分解合同でないものが存在するのです．

　なお，分割合同であるための必要条件と空間充填形ができるための必要条件は，ほぼ同じと考えられるのですが，空間充填形ができるための必要条件は，二面角δが４直角の整数分の１であることです．菱形十二面体，直方体，鼈臑型四面体などが分解合同であるのは二面角δが４直角の整数分の１であるためです．

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【２】秋山の定理（２００８年）

　正四面体と正八面体の二面角は互いに補角をなすので，

　　ｎ1δ4＋ｎ2δ8＝０

が成り立ちますが，

　　ｎ1δ4＋ｎ2δ6＝０，ｎ1δ4＋ｎ2δ12＝０，ｎ1δ4＋ｎ2δ20＝０

　　ｎ1δ6＋ｎ2δ8＝０，ｎ1δ6＋ｎ2δ12＝０，ｎ1δ6＋ｎ2δ20＝０

　　ｎ1δ8＋ｎ2δ12＝０，ｎ1δ8＋ｎ2δ20＝０，ｎ1δ12＋ｎ2δ20＝０

は成り立ちません．

　ところで，本年６月，ロシアの数学者ポントリャーギンの生誕１００年を記念してモスクワ大学で幾何学の国際会議が開催されたのですが，秋山仁先生が「正多面体の元素について」という演目で講演されました．秋山先生は

（Ｑ）何種類かの凸多面体ピースを使ってすべての正多面体を作ること

という問題を考えて，実際に４種類の元素をα，β，γ，δとすると正四面体はα8，正２０面体はβ24，正八面体はβ24γ24，立方体はα8β12γ12，正１２面体はα8β12γ12δ12で構成されることを示しました．

　このことから

　　［定理］正多面体の元素数は≦４である．

がいえるわけです．すなわち，正多面体の元素数は多くても４種類であることを主張しているわけです．

　正多面体の二面角は超越数ですから

　　ｎ1δ4＋ｎ2δ6＋ｎ3δ12＋ｎ4δ20＝０

　　ｎ1δ8＋ｎ2δ6＋ｎ3δ12＋ｎ4δ20＝０

も成り立ちそうにありません．このことは正多面体の元素数は少なくとも４種類であり，at most 4とat least 4，これらのことから正多面体の元素数は４であると推定されます．

　また，

　　［定理］平行多面体の元素数は１である（立方体σ12（σ96），６角柱σ144，菱形１２面体σ192，長菱形１２面体σ384，切頂８面体σ48）．

が成り立つのは平行多面体が空間充填多面体であって，その二面角がπと通約できることに基づいています．

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【３】デーン不変量

　多面体Ｐに対して，デーン不変量

　　δ（Ｐ）＝Σ（ａi，αi）

を定義します．ａiは辺の長さ，αiは二面角でｍｏｄ　πで還元されているものとします．

　すると，立方体のデーン不変量はδ（Ｐ6）＝１２（ａ，π／２），正四面体のデーン不変量はδ（Ｐ4）＝６（ａ，δ），ｃｏｓα＝１／３となります．

　また，加法を

　　（ａ，α）＋（ａ，β）＝（ａ，α＋β）

　　（ａ，α）＋（ｂ，α）＝（ａ＋ｂ，α）

　　（ａ，０）＝（０，０）

で定義すると，

　　（ａ，π／２）＝（ａ／２，π／２）＋（ａ／２，π／２）＝（ａ／２，π）＝（ａ／２，０）＝（０，０）よりδ（Ｐ6）＝０．

　しかしながらδ（Ｐ4）≠０なので，正四面体と立方体は同値ではない→たとえ同じ体積をもっていたとしても分割合同ではないということになります．さらに，デーン不変量を用いると正八面体と立方体は同値でない，正八面体と正四面体は同値でないことなどを示すことができます．

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