【１】２次体の判別式

　２次体Ｑ（√ｄ）の判別式Ｄは

　　ｄ=２，３（ｍｏｄ４）　→　Ｄ=４ｄ

　　ｄ=１（ｍｏｄ４）　　　→　Ｄ=ｄ

となるのですが，素数ｐがいつ素イデアルに分岐しまた完全分解するかを調べると，有理素数は次のように分解することがわかります．

［１］ｄ=２，３（ｍｏｄ４），Ｄ=４ｄ

　(1)ｐ｜Ｄ　→　ｐ=p^2，Ｎ（p）=ｐ

　(2)（ｄ／ｐ）=＋１　→　ｐ=pp'，Ｎ（p）=ｐ

　(3)（ｄ／ｐ）=−１　→　ｐ=p，Ｎ（p）=ｐ^2

［２］ｄ=１（ｍｏｄ４），Ｄ=ｄ

　(1)ｐ｜Ｄ　→　ｐ=p^2，Ｎ（p）=ｐ

　(2)ｐ≠２，（ｄ／ｐ）=＋１　→　ｐ=pp'，Ｎ（p）=ｐ

　(3)ｐ≠２，（ｄ／ｐ）=−１　→　ｐ=p，Ｎ（p）=ｐ^2

　(4)ｐ=２，ｄ=１（ｍｏｄ８）　→　２=pp'，Ｎ（p）=ｐ

　(5)ｐ=２，ｄ=５（ｍｏｄ８）　→　２=p，Ｎ（p）=２^2

　ここで，（ｄ／ｐ）はルジャンドルの記号で，

　　（ｄ／ｐ）=＋１

はｄがｐを法とする平方剰余であることを示しています．すなわち，ｘ^2=ｄ（ｍｏｄｐ）の解の有無によって，解のあるときｄをｐの平方剰余，ないとき平方非剰余といい，

　　（ｄ／ｐ）=−１

と表されます．

　この結果から２次体Ｑ（√ｄ）でｐが分岐するための必要十分条件は

　　ｐ｜Ｄ

であることがわかります．割れなければｐはＱ（√ｄ）で不分岐です．

　一般に，代数体の判別式Ｄは基底の選び方には依存しない整数であり，代数体の大切な不変量の１つとなっているのですが，２次方程式が重根をもつ・もたないの判別ではなく，素数の分解・分岐など素イデアルの分解法則と密接に関係しているのです．

　判別式の絶対値｜Ｄ｜が５０以下の２次体Ｑ（√ｄ）をあげてみましょう．まず，

　　ｄ=２，３（ｍｏｄ４）　→　Ｄ=４ｄ

　　ｄ=１（ｍｏｄ４）　　　→　Ｄ=ｄ

ですから，

　　ｄ＝４ｎ＋１　　　→　｜ｄ｜≦５０

　　ｄ＝４ｎ＋２，３　→　｜ｄ｜≦１２

　また，ｄは０，１以外の平方因数をもたない整数でなければなりませんから，４の倍数，９の倍数，１６の倍数，２５の倍数，３６の倍数，４９の倍数を除外すると，

　　−１，±２，±３，±５，±６，±７，±１０，

　　±１１，±１３，±１４，±１５，±１７，±１９，

　　±２１，±２２，±２３，±２６，±２９，±３０，

　　±３１，±３３，±３４，±３５，±３７，±３９，

　　±４１，±４３，±４６，±４７

　これらのなかで，

　　ｄ＝４ｎ＋１　　　→　｜ｄ｜≦５０

　　ｄ＝４ｎ＋２，３　→　｜ｄ｜≦１２

という条件を満たすのは

　　−１，±２，±３，±５，±６，±７，±１０，±１１，

　　１３，１７，２１，２９，３３，３７，４１，

　　−１５，−１９，−２３，−３１，−３５，−３９，−４３，−４７

になります．

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