【１】素数の分解

　Ｚ（√−１）において，素数３は素元であるが，素数２，素数５は

　　２＝（１＋√−１）（１−√−１）

　　５＝（２＋√−１）（２−√−１）

と単数でない２つの数の積に分解される．

　Ｚ（√−２）において，素数５は素元であるが，素数２，素数３は

　　２＝−（√−２）（√−２）

　　３＝（１＋√−２）（１−√−２）

と単数でない２つの数の積に分解される．

　素数はいつ素元であり，いつ分解するのか？

　２次体Ｑ（√ｄ）には，各素数ｐに対して（０，１，−１）を値にもつクロネッカーの指標χ（ｐ）があり，

　　χ（ｐ）＝０　　　（分岐）

　　　　　　＝＋１　　（完全分解）

　　　　　　＝−１　　（ｐは２次体でも素）

と定義されます．

　具体的には，Ｄを判別式として

　　ｐ｜Ｄ　→　χ（ｐ）＝０

　　ｐ≠２　→　χ（ｐ）＝（Ｄ／ｐ）

　　ｐ＝２　→　χ（ｐ）＝（−１）^{(Ｄ^2-1)/8}　

のように計算されるのですが，

　　ｐ＝２　→　χ（ｐ）＝（−１）^{(Ｄ^2-1)/8}　

はｄ＝１（ｍｏｄ４）のときのみに起って，右辺は第２補充法則によっています．

　たとえば，Ｑ（√−１）＝Ｑ（ｉ）の世界では，

　　χ（５）＝（−１／５）＝１　　（第１補充法則）

より，素数５は２つの相異なる素イデアルの積となり

　　５＝（２＋ｉ）（２−ｉ）

と分解されるというわけです．

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